Trigonometria Exemplos

$C = 3$ , $a = 16$ , $b = 33$

Etapa 1

Use a lei dos cossenos para encontrar o lado desconhecido do triângulo, considerando os outros dois lados e o ângulo incluído.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Etapa 2

Resolva a equação.

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos na equação.

$c = \sqrt{{(16)}^{2} + {(33)}^{2} - 2 \cdot 16 \cdot 33 \cos (3)}$

Etapa 4

Simplifique os resultados.

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Etapa 4.1

Eleve $16$ à potência de $2$ .

$c = \sqrt{256 + {(33)}^{2} - 2 \cdot 16 \cdot (33 \cos (3))}$

Etapa 4.2

Eleve $33$ à potência de $2$ .

$c = \sqrt{256 + 1089 - 2 \cdot 16 \cdot (33 \cos (3))}$

Etapa 4.3

Multiplique $- 2 \cdot 16 \cdot 33$ .

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 2$ por $16$ .

$c = \sqrt{256 + 1089 - 32 \cdot (33 \cos (3))}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $- 32$ por $33$ .

$c = \sqrt{256 + 1089 - 1056 \cos (3)}$

Etapa 4.4

Avalie $\cos (3)$ .

$c = \sqrt{256 + 1089 - 1056 \cdot 0.99862953}$

Etapa 4.5

Multiplique $- 1056$ por $0.99862953$ .

$c = \sqrt{256 + 1089 - 1054.5527887}$

Etapa 4.6

Some $256$ e $1089$ .

$c = \sqrt{1345 - 1054.5527887}$

Etapa 4.7

Subtraia $1054.5527887$ de $1345$ .

$c = \sqrt{290.44721129}$

Etapa 4.8

Avalie a raiz.

$c = 17.04251188$

Etapa 5

A lei dos senos se baseia na proporcionalidade dos lados e ângulos em triângulos. A lei afirma que, para os ângulos de um triângulo não retângulo, cada ângulo tem a mesma proporção da medida do ângulo para o valor do seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 6

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $A$ .

$\frac{\sin (A)}{16} = \frac{\sin (3)}{17.04251188}$

Etapa 7

Resolva a equação para $A$ .

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Etapa 7.1

Multiplique os dois lados da equação por $16$ .

$16 \frac{\sin (A)}{16} = 16 \frac{\sin (3)}{17.04251188}$

Etapa 7.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 7.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum de $16$ .

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Etapa 7.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$16 \frac{\sin (A)}{16} = 16 \frac{\sin (3)}{17.04251188}$

Etapa 7.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\sin (A) = 16 \frac{\sin (3)}{17.04251188}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.2.1

Simplifique $16 \frac{\sin (3)}{17.04251188}$ .

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Etapa 7.2.2.1.1

Avalie $\sin (3)$ .

$\sin (A) = 16 (\frac{0.05233595}{17.04251188})$

Etapa 7.2.2.1.2

Divida $0.05233595$ por $17.04251188$ .

$\sin (A) = 16 \cdot 0.0030709$

Etapa 7.2.2.1.3

Multiplique $16$ por $0.0030709$ .

$\sin (A) = 0.04913449$

Etapa 7.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $A$ de dentro do seno.

$A = \arcsin (0.04913449)$

Etapa 7.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.4.1

Avalie $\arcsin (0.04913449)$ .

$A = 2.81633345$

Etapa 7.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$A = 180 - 2.81633345$

Etapa 7.6

Subtraia $2.81633345$ de $180$ .

$A = 177.18366654$

Etapa 7.7

A solução para a equação $A = 2.81633345$ .

$A = 2.81633345, 177.18366654$

Etapa 7.8

Exclua o ângulo inválido.

$A = 2.81633345$

Etapa 8

A soma de todos os ângulos em um triângulo é $180$ graus.

$2.81633345 + 3 + B = 180$

Etapa 9

Resolva a equação para $B$ .

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Etapa 9.1

Some $2.81633345$ e $3$ .

$5.81633345 + B = 180$

Etapa 9.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.2.1

Subtraia $5.81633345$ dos dois lados da equação.

$B = 180 - 5.81633345$

Etapa 9.2.2

Subtraia $5.81633345$ de $180$ .

$B = 174.18366654$

Etapa 10

Esses são os resultados de todos os ângulos e lados do triângulo em questão.

$A = 2.81633345$

$B = 174.18366654$

$C = 3$

$a = 16$

$b = 33$

$c = 17.04251188$