Trigonometria Exemplos

$\sin (3 x) + \sin (x) = 0$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Aplique a fórmula do arco triplo do seno.

$- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + \sin (x) = 0$

Etapa 1.2

Some $3 \sin (x)$ e $\sin (x)$ .

$- 4 \sin^{3} (x) + 4 \sin (x) = 0$

Etapa 2

Fatore $- 4 \sin^{3} (x) + 4 \sin (x)$ .

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Etapa 2.1

Fatore $4 \sin (x)$ de $- 4 \sin^{3} (x) + 4 \sin (x)$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $4 \sin (x)$ de $- 4 \sin^{3} (x)$ .

$4 \sin (x) (- \sin^{2} (x)) + 4 \sin (x) = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $4 \sin (x)$ de $4 \sin (x)$ .

$4 \sin (x) (- \sin^{2} (x)) + 4 \sin (x) \cdot 1 = 0$

Etapa 2.1.3

Fatore $4 \sin (x)$ de $4 \sin (x) (- \sin^{2} (x)) + 4 \sin (x) \cdot 1$ .

$4 \sin (x) (- \sin^{2} (x) + 1) = 0$

Etapa 2.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$4 \sin (x) (- \sin^{2} (x) + 1^{2}) = 0$

Etapa 2.3

Reordene $- \sin^{2} (x)$ e $1^{2}$ .

$4 \sin (x) (1^{2} - \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 2.4

Fatore.

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Etapa 2.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \sin (x)$ .

$4 \sin (x) ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) = 0$

Etapa 2.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 \sin (x) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$1 + \sin (x) = 0$

$1 - \sin (x) = 0$

Etapa 4

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 4.2.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 4.2.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 4.2.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 4.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.2.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

Defina $1 + \sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $1 + \sin (x)$ como igual a $0$ .

$1 + \sin (x) = 0$

Etapa 5.2

Resolva $1 + \sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\sin (x) = - 1$

Etapa 5.2.2

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

O valor exato de $\arcsin (- 1)$ é $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.4

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Etapa 5.2.5

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 5.2.5.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Etapa 5.2.5.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 5.2.6

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 5.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.2.6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 5.2.7

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 5.2.7.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{2}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Etapa 5.2.7.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.7.3

Combine frações.

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Etapa 5.2.7.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.7.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 5.2.7.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.7.4.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Etapa 5.2.7.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Etapa 5.2.7.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 5.2.8

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Defina $1 - \sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $1 - \sin (x)$ como igual a $0$ .

$1 - \sin (x) = 0$

Etapa 6.2

Resolva $1 - \sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \sin (x) = - 1$

Etapa 6.2.2

Divida cada termo em $- \sin (x) = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 6.2.2.1

Divida cada termo em $- \sin (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 6.2.2.2.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 6.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Etapa 6.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (1)$

Etapa 6.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.4.1

O valor exato de $\arcsin (1)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 6.2.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Etapa 6.2.6

Simplifique $π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 6.2.6.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 6.2.6.2

Combine frações.

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Etapa 6.2.6.2.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 6.2.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 6.2.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.6.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Etapa 6.2.6.3.2

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 6.2.7

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 6.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 6.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 6.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 6.2.8

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $4 \sin (x) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) = 0$ verdadeiro.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Consolide as respostas.

$x = \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$