Trigonometria Exemplos

$\tan^{5} (x) - 9 \tan (x) = 0$

Etapa 1

Fatore $\tan^{5} (x) - 9 \tan (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $\tan (x)$ de $\tan^{5} (x) - 9 \tan (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore $\tan (x)$ de $\tan^{5} (x)$ .

$\tan (x) \tan^{4} (x) - 9 \tan (x) = 0$

Etapa 1.1.2

Fatore $\tan (x)$ de $- 9 \tan (x)$ .

$\tan (x) \tan^{4} (x) + \tan (x) \cdot - 9 = 0$

Etapa 1.1.3

Fatore $\tan (x)$ de $\tan (x) \tan^{4} (x) + \tan (x) \cdot - 9$ .

$\tan (x) (\tan^{4} (x) - 9) = 0$

Etapa 1.2

Reescreva $\tan^{4} (x)$ como ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ .

$\tan (x) ({(\tan^{2} (x))}^{2} - 9) = 0$

Etapa 1.3

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\tan (x) ({(\tan^{2} (x))}^{2} - 3^{2}) = 0$

Etapa 1.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \tan^{2} (x)$ e $b = 3$ .

$\tan (x) ((\tan^{2} (x) + 3) (\tan^{2} (x) - 3)) = 0$

Etapa 1.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\tan (x) (\tan^{2} (x) + 3) (\tan^{2} (x) - 3) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\tan (x) = 0$

$\tan^{2} (x) + 3 = 0$

$\tan^{2} (x) - 3 = 0$

Etapa 3

Defina $\tan (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $\tan (x)$ como igual a $0$ .

$\tan (x) = 0$

Etapa 3.2

Resolva $\tan (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (0)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.2.3

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + 0$

Etapa 3.2.4

Some $π$ e $0$ .

$x = π$

Etapa 3.2.5

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 3.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 3.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 3.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 3.2.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 3.2.6

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = π n, π + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Defina $\tan^{2} (x) + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $\tan^{2} (x) + 3$ como igual a $0$ .

$\tan^{2} (x) + 3 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\tan^{2} (x) + 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$\tan^{2} (x) = - 3$

Etapa 4.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 3}$

Etapa 4.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Etapa 4.2.3.1

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Etapa 4.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Etapa 4.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$\tan (x) = \pm i \sqrt{3}$

Etapa 4.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\tan (x) = i \sqrt{3}$

Etapa 4.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\tan (x) = - i \sqrt{3}$

Etapa 4.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\tan (x) = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Etapa 4.2.5

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\tan (x) = i \sqrt{3}$

$\tan (x) = - i \sqrt{3}$

Etapa 4.2.6

Resolva $x$ em $\tan (x) = i \sqrt{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (i \sqrt{3})$

Etapa 4.2.6.2

A tangente inversa de $\arctan (i \sqrt{3})$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.2.7

Resolva $x$ em $\tan (x) = - i \sqrt{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.7.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (- i \sqrt{3})$

Etapa 4.2.7.2

A tangente inversa de $\arctan (- i \sqrt{3})$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.2.8

Liste todas as soluções.

Nenhuma solução

Etapa 5

Defina $\tan^{2} (x) - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $\tan^{2} (x) - 3$ como igual a $0$ .

$\tan^{2} (x) - 3 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $\tan^{2} (x) - 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$\tan^{2} (x) = 3$

Etapa 5.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\tan (x) = \pm \sqrt{3}$

Etapa 5.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\tan (x) = \sqrt{3}$

Etapa 5.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Etapa 5.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\tan (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 5.2.4

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\tan (x) = \sqrt{3}$

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Etapa 5.2.5

Resolva $x$ em $\tan (x) = \sqrt{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Etapa 5.2.5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.5.2.1

O valor exato de $\arctan (\sqrt{3})$ é $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Etapa 5.2.5.3

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{3}$

Etapa 5.2.5.4

Simplifique $π + \frac{π}{3}$ .

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Etapa 5.2.5.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Etapa 5.2.5.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Etapa 5.2.5.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Etapa 5.2.5.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.4.3.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Etapa 5.2.5.4.3.2

Some $3 π$ e $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Etapa 5.2.5.5

Encontre o período de $\tan (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 5.2.5.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 5.2.5.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 5.2.5.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 5.2.5.6

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.2.6

Resolva $x$ em $\tan (x) = - \sqrt{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

Etapa 5.2.6.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.2.1

O valor exato de $\arctan (- \sqrt{3})$ é $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Etapa 5.2.6.3

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = - \frac{π}{3} - π$

Etapa 5.2.6.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.4.1

Some $2 π$ a $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Etapa 5.2.6.4.2

O ângulo resultante de $\frac{2 π}{3}$ é positivo e coterminal com $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Etapa 5.2.6.5

Encontre o período de $\tan (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 5.2.6.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 5.2.6.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 5.2.6.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 5.2.6.6

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.6.1

Some $π$ com $- \frac{π}{3}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{3} + π$

Etapa 5.2.6.6.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 5.2.6.6.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.6.3.1

Combine $π$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 5.2.6.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 5.2.6.6.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.6.4.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Etapa 5.2.6.6.4.2

Subtraia $π$ de $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Etapa 5.2.6.6.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{2 π}{3}$

Etapa 5.2.6.7

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.2.7

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.2.8

Consolide as soluções.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.8.1

Consolide $\frac{π}{3} + π n$ e $\frac{4 π}{3} + π n$ em $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.2.8.2

Consolide $\frac{2 π}{3} + π n$ e $\frac{2 π}{3} + π n$ em $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $\tan (x) (\tan^{2} (x) + 3) (\tan^{2} (x) - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = π n, π + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Consolide as respostas.

$x = \frac{π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$