Trigonometria Exemplos

$\tan (θ) = 2$ , $\sin (θ) < 0$

Etapa 1

The sine function is negative in the third and fourth quadrants. The tangent function is positive in the first and third quadrants. The set of solutions for $θ$ are limited to the third quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

A solução está no terceiro quadrante.

Etapa 2

Use a definição de tangente para encontrar os lados conhecidos do triângulo retângulo do círculo unitário. O quadrante determina o sinal em cada valor.

$\tan (θ) = \frac{oposto}{adjacente}$

Etapa 3

Encontre a hipotenusa do triângulo de círculo unitário. Como os lados opostos e adjacentes são conhecidos, use o teorema de Pitágoras para encontrar o lado restante.

$Hipotenusa = \sqrt{{oposto}^{2} + {adjacente}^{2}}$

Etapa 4

Substitua os valores conhecidos na equação.

$Hipotenusa = \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Etapa 5

Simplifique dentro do radical.

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Etapa 5.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

Hipotenusa $= \sqrt{4 + {(- 1)}^{2}}$

Etapa 5.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

Hipotenusa $= \sqrt{4 + 1}$

Etapa 5.3

Some $4$ e $1$ .

Hipotenusa $= \sqrt{5}$

Etapa 6

Encontre o valor do seno.

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Etapa 6.1

Use a definição de seno para encontrar o valor de $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos.

$\sin (θ) = \frac{- 2}{\sqrt{5}}$

Etapa 6.3

Simplifique o valor de $\sin (θ)$ .

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Etapa 6.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sin (θ) = - \frac{2}{\sqrt{5}}$

Etapa 6.3.2

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (θ) = - (\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Etapa 6.3.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 6.3.3.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 6.3.3.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 6.3.3.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 6.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Etapa 6.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 6.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 6.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 6.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 6.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 6.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 7

Encontre o valor do cosseno.

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Etapa 7.1

Use a definição de cosseno para encontrar o valor de $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos.

$\cos (θ) = \frac{- 1}{\sqrt{5}}$

Etapa 7.3

Simplifique o valor de $\cos (θ)$ .

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Etapa 7.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\cos (θ) = - \frac{1}{\sqrt{5}}$

Etapa 7.3.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cos (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Etapa 7.3.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 7.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 7.3.3.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 7.3.3.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 7.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Etapa 7.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 7.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 7.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 7.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 7.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 7.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 8

Encontre o valor da cotangente.

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Etapa 8.1

Use a definição de cotangente para encontrar o valor de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Etapa 8.2

Substitua os valores conhecidos.

$\cot (θ) = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 8.3

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\cot (θ) = \frac{1}{2}$

Etapa 9

Encontre o valor da secante.

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Etapa 9.1

Use a definição de secante para encontrar o valor de $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Etapa 9.2

Substitua os valores conhecidos.

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Etapa 9.3

Simplifique o valor de $\sec (θ)$ .

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Etapa 9.3.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\sqrt{5}}{- 1}$ .

$\sec (θ) = - 1 \cdot \sqrt{5}$

Etapa 9.3.2

Reescreva $- 1 \cdot \sqrt{5}$ como $- \sqrt{5}$ .

$\sec (θ) = - \sqrt{5}$

Etapa 10

Encontre o valor da cossecante.

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Etapa 10.1

Use a definição de cossecante para encontrar o valor de $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Etapa 10.2

Substitua os valores conhecidos.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{5}}{- 2}$

Etapa 10.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{2}$

Etapa 11

Esta é a solução para cada valor trigonométrico.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\tan (θ) = 2$

$\cot (θ) = \frac{1}{2}$

$\sec (θ) = - \sqrt{5}$

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{2}$