Trigonometria Exemplos

$9 \cos^{2} (θ) - 24 \sin (θ) - 10 = - 8 \sin (θ) + 6$

Etapa 1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Some $8 \sin (θ)$ aos dois lados da equação.

$9 \cos^{2} (θ) - 24 \sin (θ) - 10 + 8 \sin (θ) = 6$

Etapa 1.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$9 \cos^{2} (θ) - 24 \sin (θ) - 10 + 8 \sin (θ) - 6 = 0$

Etapa 2

Simplifique $9 \cos^{2} (θ) - 24 \sin (θ) - 10 + 8 \sin (θ) - 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Some $- 24 \sin (θ)$ e $8 \sin (θ)$ .

$9 \cos^{2} (θ) - 10 - 16 \sin (θ) - 6 = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $6$ de $- 10$ .

$9 \cos^{2} (θ) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

Etapa 3

Substitua $9 \cos^{2} (θ)$ por $9 (1 - \sin^{2} (θ))$ com base na identidade $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$9 (1 - \sin^{2} (θ)) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$9 \cdot 1 + 9 (- \sin^{2} (θ)) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

Etapa 4.2

Multiplique $9$ por $1$ .

$9 + 9 (- \sin^{2} (θ)) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

Etapa 4.3

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$9 - 9 \sin^{2} (θ) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

Etapa 5

Subtraia $16$ de $9$ .

$- 9 \sin^{2} (θ) - 7 - 16 \sin (θ) = 0$

Etapa 6

Reordene o polinômio.

$- 9 \sin^{2} (θ) - 16 \sin (θ) - 7 = 0$

Etapa 7

Substitua $u$ por $\sin (θ)$ .

$- 9 {(u)}^{2} - 16 u - 7 = 0$

Etapa 8

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Fatore $- 1$ de $- 9 u^{2} - 16 u - 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Fatore $- 1$ de $- 9 u^{2}$ .

$- (9 u^{2}) - 16 u - 7 = 0$

Etapa 8.1.2

Fatore $- 1$ de $- 16 u$ .

$- (9 u^{2}) - (16 u) - 7 = 0$

Etapa 8.1.3

Reescreva $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$- (9 u^{2}) - (16 u) - 1 \cdot 7 = 0$

Etapa 8.1.4

Fatore $- 1$ de $- (9 u^{2}) - (16 u)$ .

$- (9 u^{2} + 16 u) - 1 \cdot 7 = 0$

Etapa 8.1.5

Fatore $- 1$ de $- (9 u^{2} + 16 u) - 1 (7)$ .

$- (9 u^{2} + 16 u + 7) = 0$

Etapa 8.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 9 \cdot 7 = 63$ e cuja soma é $b = 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1.1

Fatore $16$ de $16 u$ .

$- (9 u^{2} + 16 u + 7) = 0$

Etapa 8.2.1.1.2

Reescreva $16$ como $7$ mais $9$

$- (9 u^{2} + (7 + 9) u + 7) = 0$

Etapa 8.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- (9 u^{2} + 7 u + 9 u + 7) = 0$

Etapa 8.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- (9 u^{2} + 7 u + 9 u + 7) = 0$

Etapa 8.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$- (u (9 u + 7) + 1 (9 u + 7)) = 0$

Etapa 8.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $9 u + 7$ .

$- ((9 u + 7) (u + 1)) = 0$

Etapa 8.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (9 u + 7) (u + 1) = 0$

Etapa 9

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$9 u + 7 = 0$

$u + 1 = 0$

Etapa 10

Defina $9 u + 7$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Defina $9 u + 7$ como igual a $0$ .

$9 u + 7 = 0$

Etapa 10.2

Resolva $9 u + 7 = 0$ para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$9 u = - 7$

Etapa 10.2.2

Divida cada termo em $9 u = - 7$ por $9$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Divida cada termo em $9 u = - 7$ por $9$ .

$\frac{9 u}{9} = \frac{- 7}{9}$

Etapa 10.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 u}{9} = \frac{- 7}{9}$

Etapa 10.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 7}{9}$

Etapa 10.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u = - \frac{7}{9}$

Etapa 11

Defina $u + 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Defina $u + 1$ como igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Etapa 11.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$u = - 1$

Etapa 12

A solução final são todos os valores que tornam $- (9 u + 7) (u + 1) = 0$ verdadeiro.

$u = - \frac{7}{9}, - 1$

Etapa 13

Substitua $\sin (θ)$ por $u$ .

$\sin (θ) = - \frac{7}{9}, - 1$

Etapa 14

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $θ$ .

$\sin (θ) = - \frac{7}{9}$

$\sin (θ) = - 1$

Etapa 15

Resolva $θ$ em $\sin (θ) = - \frac{7}{9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do seno.

$θ = \arcsin (- \frac{7}{9})$

Etapa 15.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Avalie $\arcsin (- \frac{7}{9})$ .

$θ = - 51.05755873$

Etapa 15.3

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $360$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $180$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$θ = 360 + 51.05755873 + 180$

Etapa 15.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.1

Subtraia $360 °$ de $360 + 51.05755873 + 180 °$ .

$θ = 360 + 51.05755873 + 180 ° - 360 °$

Etapa 15.4.2

O ângulo resultante de $231.05755873 °$ é positivo, menor do que $360 °$ e coterminal com $360 + 51.05755873 + 180$ .

$θ = 231.05755873 °$

Etapa 15.5

Encontre o período de $\sin (θ)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Etapa 15.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{360}{| 1 |}$

Etapa 15.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{360}{1}$

Etapa 15.5.4

Divida $360$ por $1$ .

$360$

Etapa 15.6

Some $360$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.6.1

Some $360$ com $- 51.05755873$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 51.05755873 + 360$

Etapa 15.6.2

Subtraia $51.05755873$ de $360$ .

$308.94244126$

Etapa 15.6.3

Liste os novos ângulos.

$θ = 308.94244126$

Etapa 15.7

O período da função $\sin (θ)$ é $360$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $360$ graus nas duas direções.

$θ = 231.05755873 + 360 n, 308.94244126 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 16

Resolva $θ$ em $\sin (θ) = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do seno.

$θ = \arcsin (- 1)$

Etapa 16.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

O valor exato de $\arcsin (- 1)$ é $- 90$ .

$θ = - 90$

Etapa 16.3

$θ = 360 + 90 + 180$

Etapa 16.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.4.1

Subtraia $360 °$ de $360 + 90 + 180 °$ .

$θ = 360 + 90 + 180 ° - 360 °$

Etapa 16.4.2

O ângulo resultante de $270 °$ é positivo, menor do que $360 °$ e coterminal com $360 + 90 + 180$ .

$θ = 270 °$

Etapa 16.5

Encontre o período de $\sin (θ)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Etapa 16.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{360}{| 1 |}$

Etapa 16.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{360}{1}$

Etapa 16.5.4

Divida $360$ por $1$ .

$360$

Etapa 16.6

Some $360$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.6.1

Some $360$ com $- 90$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 90 + 360$

Etapa 16.6.2

Subtraia $90$ de $360$ .

$270$

Etapa 16.6.3

Liste os novos ângulos.

$θ = 270$

Etapa 16.7

O período da função $\sin (θ)$ é $360$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $360$ graus nas duas direções.

$θ = 270 + 360 n, 270 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 17

Liste todas as soluções.

$θ = 231.05755873 + 360 n, 308.94244126 + 360 n, 270 + 360 n, 270 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 18

Consolide $270 + 360 n$ e $270 + 360 n$ em $270 + 360 n$ .

$θ = 231.05755873 + 360 n, 308.94244126 + 360 n, 270 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$