Trigonometria Exemplos

$4 \sin^{2} (θ) = 3$

Etapa 1

Divida cada termo em $4 \sin^{2} (θ) = 3$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $4 \sin^{2} (θ) = 3$ por $4$ .

$\frac{4 \sin^{2} (θ)}{4} = \frac{3}{4}$

Etapa 1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \sin^{2} (θ)}{4} = \frac{3}{4}$

Etapa 1.2.1.2

Divida $\sin^{2} (θ)$ por $1$ .

$\sin^{2} (θ) = \frac{3}{4}$

Etapa 2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sin (θ) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Etapa 3

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

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Etapa 3.1

Reescreva $\sqrt{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Etapa 3.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 3.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 5

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $θ$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 6

Resolva $θ$ em $\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 6.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do seno.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 6.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ é $60$ .

$θ = 60$

Etapa 6.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$θ = 180 - 60$

Etapa 6.4

Subtraia $60$ de $180$ .

$θ = 120$

Etapa 6.5

Encontre o período de $\sin (θ)$ .

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Etapa 6.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Etapa 6.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{360}{| 1 |}$

Etapa 6.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{360}{1}$

Etapa 6.5.4

Divida $360$ por $1$ .

$360$

Etapa 6.6

O período da função $\sin (θ)$ é $360$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $360$ graus nas duas direções.

$θ = 60 + 360 n, 120 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Resolva $θ$ em $\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 7.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do seno.

$θ = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 7.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.1

O valor exato de $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ é $- 60$ .

$θ = - 60$

Etapa 7.3

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $360$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $180$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$θ = 360 + 60 + 180$

Etapa 7.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 7.4.1

Subtraia $360 °$ de $360 + 60 + 180 °$ .

$θ = 360 + 60 + 180 ° - 360 °$

Etapa 7.4.2

O ângulo resultante de $240 °$ é positivo, menor do que $360 °$ e coterminal com $360 + 60 + 180$ .

$θ = 240 °$

Etapa 7.5

Encontre o período de $\sin (θ)$ .

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Etapa 7.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Etapa 7.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{360}{| 1 |}$

Etapa 7.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{360}{1}$

Etapa 7.5.4

Divida $360$ por $1$ .

$360$

Etapa 7.6

Some $360$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 7.6.1

Some $360$ com $- 60$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 60 + 360$

Etapa 7.6.2

Subtraia $60$ de $360$ .

$300$

Etapa 7.6.3

Liste os novos ângulos.

$θ = 300$

Etapa 7.7

O período da função $\sin (θ)$ é $360$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $360$ graus nas duas direções.

$θ = 240 + 360 n, 300 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Liste todas as soluções.

$θ = 60 + 360 n, 120 + 360 n, 240 + 360 n, 300 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Consolide as soluções.

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Etapa 9.1

Consolide $60 + 360 n$ e $240 + 360 n$ em $60 + 180 n$ .

$θ = 60 + 180 n, 120 + 360 n, 300 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9.2

Consolide $120 + 360 n$ e $300 + 360 n$ em $120 + 180 n$ .

$θ = 60 + 180 n, 120 + 180 n$ , para qualquer número inteiro $n$