Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{x + 5}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{x^{2}}{x + 5}$ é indefinida.

$x = - 5$

Etapa 2

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 3

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Etapa 4

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 5

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$5$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Etapa 5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$5 x$

Etapa 5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} + 5 x$ .

				$x$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$

Etapa 5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$5 x$

Etapa 5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$5 x$	+	$0$

Etapa 5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 5 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x$	-	$5$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$5 x$	+	$0$

Etapa 5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x$	-	$5$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$5 x$	+	$0$
					-	$5 x$	-	$25$

Etapa 5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 5 x - 25$ .

				$x$	-	$5$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$5 x$	+	$0$
					+	$5 x$	+	$25$

Etapa 5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x$	-	$5$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$5 x$	+	$0$
					+	$5 x$	+	$25$
							+	$25$

Etapa 5.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$x - 5 + \frac{25}{x + 5}$

Etapa 5.12

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = x - 5$

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - 5$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = x - 5$

Etapa 7