Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{- 4 x^{2} - 8 x + 5}{2 x + 1}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{- 4 x^{2} - 8 x + 5}{2 x + 1}$ é indefinida.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 2

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 3

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Etapa 4

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 5

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 5.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 5.1.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 4 \cdot 5 = - 20$ e cuja soma é $b = - 8$ .

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Etapa 5.1.1.1.1

Fatore $- 8$ de $- 8 x$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 8 (x) + 5}{2 x + 1}$

Etapa 5.1.1.1.2

Reescreva $- 8$ como $2$ mais $- 10$

$\frac{- 4 x^{2} + (2 - 10) x + 5}{2 x + 1}$

Etapa 5.1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x - 10 x + 5}{2 x + 1}$

Etapa 5.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 5.1.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(- 4 x^{2} + 2 x) - 10 x + 5}{2 x + 1}$

Etapa 5.1.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{2 x (- 2 x + 1) + 5 (- 2 x + 1)}{2 x + 1}$

Etapa 5.1.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 2 x + 1$ .

$\frac{(- 2 x + 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Etapa 5.1.2

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{(- (2 x) + 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Etapa 5.1.3

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{(- (2 x) - 1 (- 1)) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Etapa 5.1.4

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Etapa 5.1.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1.5.1

Reescreva $- (2 x - 1)$ como $- 1 (2 x - 1)$ .

$\frac{- 1 (2 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Etapa 5.1.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(2 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Etapa 5.2

Expanda $- (2 x - 1) (2 x + 5)$ .

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Etapa 5.2.1

Negative $2 x - 1$ .

$\frac{- (2 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Etapa 5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(- (2 x) + 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Etapa 5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 2 x (2 x + 5) + 1 (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Etapa 5.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 2 x (2 x) - 2 x \cdot 5 + 1 (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Etapa 5.2.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 2 x (2 x) - 2 x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Etapa 5.2.6

Remova os parênteses.

$\frac{- 1 \cdot (2 x (2 x)) - 2 x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Etapa 5.2.7

Remova os parênteses.

$\frac{- 1 \cdot (2 x) \cdot (2 x) - 2 x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Etapa 5.2.8

Mova $x$ .

$\frac{- 1 \cdot 2 \cdot (2 x \cdot x) - 2 x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Etapa 5.2.9

Remova os parênteses.

$\frac{- 1 \cdot 2 \cdot (2 x \cdot x) - 1 \cdot (2 x) \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Etapa 5.2.10

Mova $x$ .

$\frac{- 1 \cdot 2 \cdot (2 x \cdot x) - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Etapa 5.2.11

Remova os parênteses.

$\frac{- 1 \cdot 2 \cdot (2 x \cdot x) - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Etapa 5.2.12

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 \cdot (2 x \cdot x) - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Etapa 5.2.13

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{- 4 x \cdot x - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Etapa 5.2.14

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 4 (x \cdot x) - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Etapa 5.2.15

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 4 (x \cdot x) - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Etapa 5.2.16

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 4 x^{1 + 1} - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Etapa 5.2.17

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Etapa 5.2.18

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Etapa 5.2.19

Multiplique $- 2$ por $5$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 10 x + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Etapa 5.2.20

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 10 x + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Etapa 5.2.21

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 10 x + 2 x + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Etapa 5.2.22

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 10 x + 2 x + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Etapa 5.2.23

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 10 x + 2 x + 5}{2 x + 1}$

Etapa 5.2.24

Some $- 10 x$ e $2 x$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 8 x + 5}{2 x + 1}$

Etapa 5.3

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 x$

$1$

$4 x^{2}$

$8 x$

$5$

Etapa 5.4

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 4 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				-	$2 x$
	$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$

Etapa 5.5

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$2 x$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			-	$4 x^{2}$	-	$2 x$

Etapa 5.6

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 4 x^{2} - 2 x$ .

			-	$2 x$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$

Etapa 5.7

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$2 x$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$6 x$

Etapa 5.8

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$2 x$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$6 x$	+	$5$

Etapa 5.9

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 6 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

			-	$2 x$	-	$3$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$6 x$	+	$5$

Etapa 5.10

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$2 x$	-	$3$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$6 x$	+	$5$
					-	$6 x$	-	$3$

Etapa 5.11

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 6 x - 3$ .

			-	$2 x$	-	$3$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$6 x$	+	$5$
					+	$6 x$	+	$3$

Etapa 5.12

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$2 x$	-	$3$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$6 x$	+	$5$
					+	$6 x$	+	$3$
							+	$8$

Etapa 5.13

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$- 2 x - 3 + \frac{8}{2 x + 1}$

Etapa 5.14

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = - 2 x - 3$

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - \frac{1}{2}$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = - 2 x - 3$

Etapa 7