Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{24 x^{2} - 14 x + 1}{4 x - 3}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{24 x^{2} - 14 x + 1}{4 x - 3}$ é indefinida.

$x = \frac{3}{4}$

Etapa 2

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 3

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Etapa 4

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 5

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 24 \cdot 1 = 24$ e cuja soma é $b = - 14$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

Fatore $- 14$ de $- 14 x$ .

$\frac{24 x^{2} - 14 (x) + 1}{4 x - 3}$

Etapa 5.1.1.2

Reescreva $- 14$ como $- 2$ mais $- 12$

$\frac{24 x^{2} + (- 2 - 12) x + 1}{4 x - 3}$

Etapa 5.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{24 x^{2} - 2 x - 12 x + 1}{4 x - 3}$

Etapa 5.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(24 x^{2} - 2 x) - 12 x + 1}{4 x - 3}$

Etapa 5.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{2 x (12 x - 1) - (12 x - 1)}{4 x - 3}$

Etapa 5.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $12 x - 1$ .

$\frac{(12 x - 1) (2 x - 1)}{4 x - 3}$

Etapa 5.2

Expanda $(12 x - 1) (2 x - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{12 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)}{4 x - 3}$

Etapa 5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{12 x (2 x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)}{4 x - 3}$

Etapa 5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{12 x (2 x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Etapa 5.2.4

Remova os parênteses.

$\frac{12 x \cdot (2 x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Etapa 5.2.5

Mova $x$ .

$\frac{12 \cdot (2 x \cdot x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Etapa 5.2.6

Mova $x$ .

$\frac{12 \cdot (2 x \cdot x) + 12 \cdot (- 1 x) - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Etapa 5.2.7

Remova os parênteses.

$\frac{12 \cdot (2 x \cdot x) + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Etapa 5.2.8

Multiplique $12$ por $2$ .

$\frac{24 x \cdot x + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Etapa 5.2.9

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{24 (x \cdot x) + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Etapa 5.2.10

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{24 (x \cdot x) + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Etapa 5.2.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{24 x^{1 + 1} + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Etapa 5.2.12

Some $1$ e $1$ .

$\frac{24 x^{2} + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Etapa 5.2.13

Multiplique $12$ por $- 1$ .

$\frac{24 x^{2} - 12 x - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Etapa 5.2.14

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{24 x^{2} - 12 x - 2 x - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Etapa 5.2.15

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{24 x^{2} - 12 x - 2 x + 1}{4 x - 3}$

Etapa 5.2.16

Subtraia $2 x$ de $- 12 x$ .

$\frac{24 x^{2} - 14 x + 1}{4 x - 3}$

Etapa 5.3

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$4 x$

$3$

$24 x^{2}$

$14 x$

$1$

Etapa 5.4

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $24 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $4 x$ .

					$6 x$
	$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$

Etapa 5.5

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$6 x$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			+	$24 x^{2}$	-	$18 x$

Etapa 5.6

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $24 x^{2} - 18 x$ .

				$6 x$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$

Etapa 5.7

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$6 x$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$

Etapa 5.8

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$6 x$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$

Etapa 5.9

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $4 x$ .

				$6 x$	+	$1$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$

Etapa 5.10

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$6 x$	+	$1$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					+	$4 x$	-	$3$

Etapa 5.11

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x - 3$ .

				$6 x$	+	$1$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	+	$3$

Etapa 5.12

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$6 x$	+	$1$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	+	$3$
							+	$4$

Etapa 5.13

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$6 x + 1 + \frac{4}{4 x - 3}$

Etapa 5.14

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = 6 x + 1$

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = \frac{3}{4}$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = 6 x + 1$

Etapa 7