Pré-cálculo Exemplos

$x^{2} + y^{2} + 2 x = 0$

Etapa 1

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$y^{2} + 2 x = - x^{2}$

Etapa 1.2

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$y^{2} = - x^{2} - 2 x$

Etapa 2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} - 2 x}$

Etapa 3

Fatore $x$ de $- x^{2} - 2 x$ .

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Etapa 3.1

Fatore $x$ de $- x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x (- x) - 2 x}$

Etapa 3.2

Fatore $x$ de $- 2 x$ .

$y = \pm \sqrt{x (- x) + x \cdot - 2}$

Etapa 3.3

Fatore $x$ de $x (- x) + x \cdot - 2$ .

$y = \pm \sqrt{x (- x - 2)}$

Etapa 4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{x (- x - 2)}$

Etapa 4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{x (- x - 2)}$

Etapa 4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{x (- x - 2)}$

$y = - \sqrt{x (- x - 2)}$

$y = \sqrt{x (- x - 2)}$

$y = - \sqrt{x (- x - 2)}$

Etapa 5

Defina o radicando em $\sqrt{x (- x - 2)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x (- x - 2) \geq 0$

Etapa 6

Resolva $x$ .

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Etapa 6.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$- x - 2 = 0$

Etapa 6.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.3

Defina $- x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.3.1

Defina $- x - 2$ como igual a $0$ .

$- x - 2 = 0$

Etapa 6.3.2

Resolva $- x - 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.3.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$- x = 2$

Etapa 6.3.2.2

Divida cada termo em $- x = 2$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 6.3.2.2.1

Divida cada termo em $- x = 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{2}{- 1}$

Etapa 6.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{2}{- 1}$

Etapa 6.3.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{- 1}$

Etapa 6.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.2.2.3.1

Divida $2$ por $- 1$ .

$x = - 2$

Etapa 6.4

A solução final são todos os valores que tornam $x (- x - 2) \geq 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 2$

Etapa 6.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$x > 0$

Etapa 6.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 6.6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 6.6.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$(- 4) (- (- 4) - 2) \geq 0$

Etapa 6.6.1.3

O lado esquerdo $- 8$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 6.6.2

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 1$

Etapa 6.6.2.2

Substitua $x$ por $- 1$ na desigualdade original.

$(- 1) (- (- 1) - 2) \geq 0$

Etapa 6.6.2.3

O lado esquerdo $1$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 6.6.3

Teste um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 6.6.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$(2) (- (2) - 2) \geq 0$

Etapa 6.6.3.3

O lado esquerdo $- 8$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 6.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 0$ Verdadeiro

$x > 0$ Falso

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 0$ Verdadeiro

$x > 0$ Falso

Etapa 6.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 2 \leq x \leq 0$

Etapa 7

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[- 2, 0]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - 2 \leq x \leq 0}$

Etapa 8

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[- 1, 1]$

Notação de construtor de conjuntos:

${y | - 1 \leq y \leq 1}$

Etapa 9

Determine o domínio e o intervalo.

Domínio: $[- 2, 0], {x | - 2 \leq x \leq 0}$

Intervalo: $[- 1, 1], {y | - 1 \leq y \leq 1}$

Etapa 10