Pré-cálculo Exemplos

${(3 (\cos (27 °) + i \sin (27 °)))}^{5}$

Etapa 1

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Avalie $\cos (27 °)$ .

${(3 (0.89100652 + i \sin (27 °)))}^{5}$

Etapa 1.1.2

Avalie $\sin (27 °)$ .

${(3 (0.89100652 + i \cdot 0.45399049))}^{5}$

Etapa 1.1.3

Mova $0.45399049$ para a esquerda de $i$ .

${(3 (0.89100652 + 0.45399049 i))}^{5}$

Etapa 1.2

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

${(3 \cdot 0.89100652 + 3 (0.45399049 i))}^{5}$

Etapa 1.2.2

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Multiplique $3$ por $0.89100652$ .

${(2.67301957 + 3 (0.45399049 i))}^{5}$

Etapa 1.2.2.2

Multiplique $0.45399049$ por $3$ .

${(2.67301957 + 1.36197149 i)}^{5}$

Etapa 2

Use o teorema binomial.

${2.67301957}^{5} + 5 \cdot {2.67301957}^{4} (1.36197149 i) + 10 \cdot {2.67301957}^{3} {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Etapa 3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Eleve $2.67301957$ à potência de $5$ .

$136.46167381 + 5 \cdot {2.67301957}^{4} (1.36197149 i) + 10 \cdot {2.67301957}^{3} {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Etapa 3.1.2

Eleve $2.67301957$ à potência de $4$ .

$136.46167381 + 5 \cdot 51.05150564 (1.36197149 i) + 10 \cdot {2.67301957}^{3} {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Etapa 3.1.3

Multiplique $5$ por $51.05150564$ .

$136.46167381 + 255.25752824 (1.36197149 i) + 10 \cdot {2.67301957}^{3} {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Etapa 3.1.4

Multiplique $1.36197149$ por $255.25752824$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i + 10 \cdot {2.67301957}^{3} {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Etapa 3.1.5

Eleve $2.67301957$ à potência de $3$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i + 10 \cdot 19.09881475 {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Etapa 3.1.6

Multiplique $10$ por $19.09881475$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i + 190.98814753 {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Etapa 3.1.7

Aplique a regra do produto a $1.36197149 i$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i + 190.98814753 ({1.36197149}^{2} i^{2}) + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Etapa 3.1.8

Eleve $1.36197149$ à potência de $2$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i + 190.98814753 (1.85496636 i^{2}) + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Etapa 3.1.9

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i + 190.98814753 (1.85496636 \cdot - 1) + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Etapa 3.1.10

Multiplique $190.98814753 (1.85496636 \cdot - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.10.1

Multiplique $1.85496636$ por $- 1$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i + 190.98814753 \cdot - 1.85496636 + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Etapa 3.1.10.2

Multiplique $190.98814753$ por $- 1.85496636$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Etapa 3.1.11

Eleve $2.67301957$ à potência de $2$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 10 \cdot 7.14503363 {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Etapa 3.1.12

Multiplique $10$ por $7.14503363$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Etapa 3.1.13

Aplique a regra do produto a $1.36197149 i$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 ({1.36197149}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Etapa 3.1.14

Eleve $1.36197149$ à potência de $3$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 (2.52641132 i^{3}) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Etapa 3.1.15

Fatore $i^{2}$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 (2.52641132 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Etapa 3.1.16

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 (2.52641132 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Etapa 3.1.17

Reescreva $- 1 i$ como $- i$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 (2.52641132 (- i)) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Etapa 3.1.18

Multiplique $- 1$ por $2.52641132$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 (- 2.52641132 i) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Etapa 3.1.19

Multiplique $- 2.52641132$ por $71.45033635$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Etapa 3.1.20

Multiplique $5$ por $2.67301957$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Etapa 3.1.21

Aplique a regra do produto a $1.36197149 i$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 ({1.36197149}^{4} i^{4}) + {(1.36197149 i)}^{5}$

Etapa 3.1.22

Eleve $1.36197149$ à potência de $4$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 (3.44090021 i^{4}) + {(1.36197149 i)}^{5}$

Etapa 3.1.23

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.23.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 (3.44090021 {(i^{2})}^{2}) + {(1.36197149 i)}^{5}$

Etapa 3.1.23.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 (3.44090021 {(- 1)}^{2}) + {(1.36197149 i)}^{5}$

Etapa 3.1.23.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 (3.44090021 \cdot 1) + {(1.36197149 i)}^{5}$

Etapa 3.1.24

Multiplique $13.36509786 (3.44090021 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.24.1

Multiplique $3.44090021$ por $1$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 \cdot 3.44090021 + {(1.36197149 i)}^{5}$

Etapa 3.1.24.2

Multiplique $13.36509786$ por $3.44090021$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + {(1.36197149 i)}^{5}$

Etapa 3.1.25

Aplique a regra do produto a $1.36197149 i$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + {1.36197149}^{5} i^{5}$

Etapa 3.1.26

Eleve $1.36197149$ à potência de $5$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 i^{5}$

Etapa 3.1.27

Fatore $i^{4}$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 (i^{4} i)$

Etapa 3.1.28

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.28.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 ({(i^{2})}^{2} i)$

Etapa 3.1.28.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 ({(- 1)}^{2} i)$

Etapa 3.1.28.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 (1 i)$

Etapa 3.1.29

Multiplique $i$ por $1$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 i$

Etapa 3.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Subtraia $354.27658973$ de $136.46167381$ .

$- 217.81491592 + 347.65347843 i - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 i$

Etapa 3.2.2

Some $- 217.81491592$ e $45.98796809$ .

$- 171.82694782 + 347.65347843 i - 180.51293863 i + 4.68640802 i$

Etapa 3.2.3

Subtraia $180.51293863 i$ de $347.65347843 i$ .

$- 171.82694782 + 167.1405398 i + 4.68640802 i$

Etapa 3.2.4

Some $167.1405398 i$ e $4.68640802 i$ .

$- 171.82694782 + 171.82694782 i$

Etapa 4

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 5

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 6

Substitua os valores reais de $a = - 171.82694782$ e $b = 171.82694782$ .

$| z | = \sqrt{{171.82694782}^{2} + {(- 171.82694782)}^{2}}$

Etapa 7

Encontre $| z |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Eleve $171.82694782$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{29524.4\overline{9} + {(- 171.82694782)}^{2}}$

Etapa 7.2

Eleve $- 171.82694782$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{29524.4\overline{9} + 29524.4\overline{9}}$

Etapa 7.3

Some $29524.4\overline{9}$ e $29524.4\overline{9}$ .

$| z | = \sqrt{59048.\overline{9}}$

Etapa 8

Avalie a raiz.

$| z | = 242.\overline{9}$

Etapa 9

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{171.82694782}{- 171.82694782})$

Etapa 10

A tangente inversa de $\frac{171.82694782}{- 171.82694782}$ é $- 0.78539816$ .

$θ = - 0.78539816$

Etapa 11

Substitua os valores de $θ = - 0.78539816$ e $| z | = 242.\overline{9}$ .

$242.\overline{9} (\cos (- 0.78539816) + i \sin (- 0.78539816))$