Pré-cálculo Exemplos

$y^{2} - 4 x - 8 y - 12 = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação na forma do vértice.

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Etapa 1.1

Isole $x$ no lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.1.1.1

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$- 4 x - 8 y - 12 = - y^{2}$

Etapa 1.1.1.2

Some $8 y$ aos dois lados da equação.

$- 4 x - 12 = - y^{2} + 8 y$

Etapa 1.1.1.3

Some $12$ aos dois lados da equação.

$- 4 x = - y^{2} + 8 y + 12$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $- 4 x = - y^{2} + 8 y + 12$ por $- 4$ e simplifique.

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Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $- 4 x = - y^{2} + 8 y + 12$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{8 y}{- 4} + \frac{12}{- 4}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

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Etapa 1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{8 y}{- 4} + \frac{12}{- 4}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{8 y}{- 4} + \frac{12}{- 4}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{8 y}{- 4} + \frac{12}{- 4}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $8$ e $- 4$ .

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Etapa 1.1.2.3.1.2.1

Fatore $4$ de $8 y$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 (2 y)}{- 4} + \frac{12}{- 4}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{2 y}{- 1}$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} - 1 \cdot (2 y) + \frac{12}{- 4}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Reescreva $- 1 \cdot (2 y)$ como $- (2 y)$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} - (2 y) + \frac{12}{- 4}$

Etapa 1.1.2.3.1.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} - 2 y + \frac{12}{- 4}$

Etapa 1.1.2.3.1.5

Divida $12$ por $- 4$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} - 2 y - 3$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $\frac{y^{2}}{4} - 2 y - 3$ .

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Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = - 2$

$c = - 3$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 (\frac{1}{4})}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 1.2.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{4})}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{4})}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 1}{\frac{1}{4}}$

Etapa 1.2.3.2.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = - 1 \cdot 4$

Etapa 1.2.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$d = - 4$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 3 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.4.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$e = - 3 - \frac{4}{4 (\frac{1}{4})}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Combine $4$ e $\frac{1}{4}$ .

$e = - 3 - \frac{4}{\frac{4}{4}}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Divida $4$ por $4$ .

$e = - 3 - \frac{4}{1}$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Divida $4$ por $1$ .

$e = - 3 - 1 \cdot 4$

Etapa 1.2.4.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$e = - 3 - 4$

Etapa 1.2.4.2.2

Subtraia $4$ de $- 3$ .

$e = - 7$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $\frac{1}{4} {(y - 4)}^{2} - 7$ .

$\frac{1}{4} {(y - 4)}^{2} - 7$

Etapa 1.3

Defina $x$ como igual ao novo lado direito.

$x = \frac{1}{4} \cdot {(y - 4)}^{2} - 7$

Etapa 2

Use a forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 7$

$k = 4$

Etapa 3

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- 7, 4)$

Etapa 4