Pré-cálculo Exemplos

$\log_{3} (\sqrt{\frac{27}{81}})$

Etapa 1

Cancele o fator comum de $27$ e $81$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $27$ de $27$ .

$\log_{3} (\sqrt{\frac{27 (1)}{81}})$

Etapa 1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $27$ de $81$ .

$\log_{3} (\sqrt{\frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3}})$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum.

$\log_{3} (\sqrt{\frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3}})$

Etapa 1.2.3

Reescreva a expressão.

$\log_{3} (\sqrt{\frac{1}{3}})$

Etapa 2

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$\log_{3} (\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}})$

Etapa 3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\log_{3} (\frac{1}{\sqrt{3}})$

Etapa 4

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\log_{3} (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Etapa 5

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\log_{3} (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

Etapa 5.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\log_{3} (\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}})$

Etapa 5.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\log_{3} (\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}})$

Etapa 5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\log_{3} (\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})$

Etapa 5.5

Some $1$ e $1$ .

$\log_{3} (\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})$

Etapa 5.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{3} (\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 5.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{3} (\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 5.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\log_{3} (\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 5.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\log_{3} (\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 5.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\log_{3} (\frac{\sqrt{3}}{3^{1}})$

Etapa 5.6.5

Avalie o expoente.

$\log_{3} (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 6

Reescreva $\frac{\sqrt{3}}{3}$ como $\sqrt{3} \cdot 3^{- 1}$ .

$\log_{3} (\sqrt{3} \cdot 3^{- 1})$

Etapa 7

Reescreva $\log_{3} (\sqrt{3} \cdot 3^{- 1})$ como $\log_{3} (\sqrt{3}) + \log_{3} (3^{- 1})$ .

$\log_{3} (\sqrt{3}) + \log_{3} (3^{- 1})$

Etapa 8

Use as regras logarítmicas para mover $- 1$ para fora do expoente.

$\log_{3} (\sqrt{3}) - \log_{3} (3)$

Etapa 9

A base do logaritmo $3$ de $3$ é $1$ .

$\log_{3} (\sqrt{3}) - 1 \cdot 1$

Etapa 10

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\log_{3} (\sqrt{3}) - 1$

Etapa 11

Reescreva $\log_{3} (\sqrt{3})$ usando a mudança da fórmula de base.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

A variação da regra de base pode ser usada quando $a$ e $b$ são maiores do que $0$ e diferentes de $1$ , e quando $x$ é maior do que $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} - 1$

Etapa 11.2

Substitua os valores das variáveis na mudança da fórmula de base, usando $b = 10$ .

$\frac{\log (\sqrt{3})}{\log (3)} - 1$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\log (\sqrt{3})}{\log (3)} - 1$

Forma decimal:

$- 0.5$