Pré-cálculo Exemplos

$\log_{5} (x - 3) + \log_{5} (\log_{5} (10))$

Etapa 1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x - 3) \log_{5} (10))$

Etapa 2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{5} (x \log_{5} (10) - 3 \log_{5} (10))$

Etapa 3

Simplifique $- 3 \log_{5} (10)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\log_{5} (x \log_{5} (10) - \log_{5} (10^{3}))$

Etapa 4

Eleve $10$ à potência de $3$ .

$\log_{5} (x \log_{5} (10) - \log_{5} (1000))$

Etapa 5

Reescreva $\log_{5} (x \log_{5} (10) - \log_{5} (1000))$ usando a mudança da fórmula de base.

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Etapa 5.1

A variação da regra de base pode ser usada quando $a$ e $b$ são maiores do que $0$ e diferentes de $1$ , e quando $x$ é maior do que $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Etapa 5.2

Substitua os valores das variáveis na mudança da fórmula de base, usando $b = 10$ .

$\frac{\log (x \log_{5} (10) - \log_{5} (1000))}{\log (5)}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.1

Reescreva $\log_{5} (10)$ usando a mudança da fórmula de base.

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Etapa 6.1.1.1

A variação da regra de base pode ser usada quando $a$ e $b$ são maiores do que $0$ e diferentes de $1$ , e quando $x$ é maior do que $0$ .

$\frac{\log (x \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} - \log_{5} (1000))}{\log (5)}$

Etapa 6.1.1.2

Substitua os valores das variáveis na mudança da fórmula de base, usando $b = 10$ .

$\frac{\log (x \frac{\log (10)}{\log (5)} - \log_{5} (1000))}{\log (5)}$

Etapa 6.1.2

A base do logaritmo $10$ de $10$ é $1$ .

$\frac{\log (x \frac{1}{\log (5)} - \log_{5} (1000))}{\log (5)}$

Etapa 6.1.3

Combine $x$ e $\frac{1}{\log (5)}$ .

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \log_{5} (1000))}{\log (5)}$

Etapa 6.1.4

Reescreva $\log_{5} (1000)$ usando a mudança da fórmula de base.

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Etapa 6.1.4.1

A variação da regra de base pode ser usada quando $a$ e $b$ são maiores do que $0$ e diferentes de $1$ , e quando $x$ é maior do que $0$ .

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)})}{\log (5)}$

Etapa 6.1.4.2

Substitua os valores das variáveis na mudança da fórmula de base, usando $b = 10$ .

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{\log (1000)}{\log (5)})}{\log (5)}$

Etapa 6.1.5

A base do logaritmo $10$ de $1000$ é $3$ .

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Etapa 6.1.5.1

Reescreva como uma equação.

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{\log (1000) = x}{\log (5)})}{\log (5)}$

Etapa 6.1.5.2

Reescreva $\log (1000) = x$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ não for igual a $1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{10^{x} = 1000}{\log (5)})}{\log (5)}$

Etapa 6.1.5.3

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{10^{x} = 10^{3}}{\log (5)})}{\log (5)}$

Etapa 6.1.5.4

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{x = 3}{\log (5)})}{\log (5)}$

Etapa 6.1.5.5

A variável $x$ é igual a $3$ .

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{3}{\log (5)})}{\log (5)}$

Etapa 6.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\log (\frac{x - 3}{\log (5)})}{\log (5)}$