Pré-cálculo Exemplos

$\log_{5} (\sqrt[4]{\frac{1}{25}})$

Etapa 1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\log_{5} (\sqrt[4]{\frac{1^{2}}{25}})$

Etapa 2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\log_{5} (\sqrt[4]{\frac{1^{2}}{5^{2}}})$

Etapa 3

Reescreva $\frac{1^{2}}{5^{2}}$ como ${(\frac{1}{5})}^{2}$ .

$\log_{5} (\sqrt[4]{{(\frac{1}{5})}^{2}})$

Etapa 4

Reescreva $\sqrt[4]{{(\frac{1}{5})}^{2}}$ como $\sqrt{\sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2}}}$ .

$\log_{5} (\sqrt{\sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2}}})$

Etapa 5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\log_{5} (\sqrt{\frac{1}{5}})$

Etapa 6

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{5}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}})$

Etapa 7

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{5}})$

Etapa 8

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Etapa 9

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 9.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

Etapa 9.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Etapa 9.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Etapa 9.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Etapa 9.5

Some $1$ e $1$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Etapa 9.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 9.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 9.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 9.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 9.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 9.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{5^{1}})$

Etapa 9.6.5

Avalie o expoente.

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{5})$

Etapa 10

Reescreva $\frac{\sqrt{5}}{5}$ como $\sqrt{5} \cdot 5^{- 1}$ .

$\log_{5} (\sqrt{5} \cdot 5^{- 1})$

Etapa 11

Reescreva $\log_{5} (\sqrt{5} \cdot 5^{- 1})$ como $\log_{5} (\sqrt{5}) + \log_{5} (5^{- 1})$ .

$\log_{5} (\sqrt{5}) + \log_{5} (5^{- 1})$

Etapa 12

Use as regras logarítmicas para mover $- 1$ para fora do expoente.

$\log_{5} (\sqrt{5}) - \log_{5} (5)$

Etapa 13

A base do logaritmo $5$ de $5$ é $1$ .

$\log_{5} (\sqrt{5}) - 1 \cdot 1$

Etapa 14

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\log_{5} (\sqrt{5}) - 1$

Etapa 15

Reescreva $\log_{5} (\sqrt{5})$ usando a mudança da fórmula de base.

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Etapa 15.1

A variação da regra de base pode ser usada quando $a$ e $b$ são maiores do que $0$ e diferentes de $1$ , e quando $x$ é maior do que $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} - 1$

Etapa 15.2

Substitua os valores das variáveis na mudança da fórmula de base, usando $b = 10$ .

$\frac{\log (\sqrt{5})}{\log (5)} - 1$

Etapa 16

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\log (\sqrt{5})}{\log (5)} - 1$

Forma decimal:

$- 0.5$