Pré-cálculo Exemplos

$\log_{2} (2 \sqrt{8} \cdot (\sqrt[3]{\frac{1}{4}}))$

Etapa 1

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 1.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\log_{2} (2 \sqrt{4 (2)} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{4}})$

Etapa 1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\log_{2} (2 \sqrt{2^{2} \cdot 2} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{4}})$

Etapa 2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\log_{2} (2 (2 \sqrt{2}) \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{4}})$

Etapa 3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{4}})$

Etapa 4

Reescreva $\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$ como $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{4}})$

Etapa 5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{4}})$

Etapa 6

Multiplique $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot (\frac{1}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}))$

Etapa 7

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 7.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}})$

Etapa 7.2

Eleve $\sqrt[3]{4}$ à potência de $1$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}})$

Etapa 7.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}})$

Etapa 7.4

Some $1$ e $2$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}})$

Etapa 7.5

Reescreva ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ como $4$ .

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Etapa 7.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{4}$ como $4^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

Etapa 7.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

Etapa 7.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}})$

Etapa 7.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 7.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}})$

Etapa 7.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}})$

Etapa 7.5.5

Avalie o expoente.

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4})$

Etapa 8

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1

Reescreva ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ como $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{4^{2}}}{4})$

Etapa 8.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{16}}{4})$

Etapa 8.3

Reescreva $16$ como $2^{3} \cdot 2$ .

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Etapa 8.3.1

Fatore $8$ de $16$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{8 (2)}}{4})$

Etapa 8.3.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4})$

Etapa 8.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{2 \sqrt[3]{2}}{4})$

Etapa 9

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 9.1

Fatore $4$ de $4 \sqrt{2}$ .

$\log_{2} (4 (\sqrt{2}) \cdot \frac{2 \sqrt[3]{2}}{4})$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum.

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{2 \sqrt[3]{2}}{4})$

Etapa 9.3

Reescreva a expressão.

$\log_{2} (\sqrt{2} \cdot (2 \sqrt[3]{2}))$

Etapa 10

Reescreva a expressão usando o menor índice comum de $6$ .

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Etapa 10.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{2} (2 (2^{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{2}))$

Etapa 10.2

Reescreva $2^{\frac{1}{2}}$ como $2^{\frac{3}{6}}$ .

$\log_{2} (2 (2^{\frac{3}{6}} \sqrt[3]{2}))$

Etapa 10.3

Reescreva $2^{\frac{3}{6}}$ como $\sqrt[6]{2^{3}}$ .

$\log_{2} (2 (\sqrt[6]{2^{3}} \sqrt[3]{2}))$

Etapa 10.4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{2}$ como $2^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{2} (2 (\sqrt[6]{2^{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}}))$

Etapa 10.5

Reescreva $2^{\frac{1}{3}}$ como $2^{\frac{2}{6}}$ .

$\log_{2} (2 (\sqrt[6]{2^{3}} \cdot 2^{\frac{2}{6}}))$

Etapa 10.6

Reescreva $2^{\frac{2}{6}}$ como $\sqrt[6]{2^{2}}$ .

$\log_{2} (2 (\sqrt[6]{2^{3}} \sqrt[6]{2^{2}}))$

Etapa 11

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\log_{2} (2 \sqrt[6]{2^{3} \cdot 2^{2}})$

Etapa 12

Multiplique $2^{3}$ por $2^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 12.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\log_{2} (2 \sqrt[6]{2^{3 + 2}})$

Etapa 12.2

Some $3$ e $2$ .

$\log_{2} (2 \sqrt[6]{2^{5}})$

Etapa 13

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$\log_{2} (2 \sqrt[6]{32})$

Etapa 14

Reescreva $\log_{2} (2 \sqrt[6]{32})$ usando a mudança da fórmula de base.

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Etapa 14.1

A variação da regra de base pode ser usada quando $a$ e $b$ são maiores do que $0$ e diferentes de $1$ , e quando $x$ é maior do que $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Etapa 14.2

Substitua os valores das variáveis na mudança da fórmula de base, usando $b = 10$ .

$\frac{\log (2 \sqrt[6]{32})}{\log (2)}$

Etapa 15

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\log (2 \sqrt[6]{32})}{\log (2)}$

Forma decimal:

$1.8\overline{3}$