Pré-cálculo Exemplos

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{4}) + \log_{3} (\frac{4}{5}) + \log_{3} (\frac{5}{6}) + \log_{3} (\frac{6}{7}) + \log_{3} (\frac{7}{8}) + \log_{3} (\frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Etapa 1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}) + \log_{3} (\frac{5}{6}) + \log_{3} (\frac{6}{7}) + \log_{3} (\frac{7}{8}) + \log_{3} (\frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Etapa 1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \frac{5}{6}) + \log_{3} (\frac{6}{7}) + \log_{3} (\frac{7}{8}) + \log_{3} (\frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Etapa 1.3

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \frac{5}{6} \frac{6}{7}) + \log_{3} (\frac{7}{8}) + \log_{3} (\frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Etapa 1.4

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \frac{5}{6} \frac{6}{7} \frac{7}{8}) + \log_{3} (\frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Etapa 1.5

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \frac{5}{6} \frac{6}{7} \frac{7}{8} \frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Etapa 1.6

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum.

Etapa 1.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\log_{3} (3 (\frac{1}{5}) \frac{5}{6} \frac{6}{7} \frac{7}{8} \frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Etapa 1.7

Combine $3$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{6} \frac{6}{7} \frac{7}{8} \frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Etapa 1.8

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3 (2)} \frac{6}{7} \frac{7}{8} \frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Etapa 1.8.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3 \cdot 2} \frac{6}{7} \frac{7}{8} \frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Etapa 1.8.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\log_{3} (\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{2} \frac{6}{7} \frac{7}{8} \frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Etapa 1.9

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.1

Cancele o fator comum.

Etapa 1.9.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\log_{3} (\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{7} \frac{7}{8} \frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Etapa 1.10

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.10.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{\log_{3} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (3)}{7} \frac{7}{8} \frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Etapa 1.10.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\log_{3} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 3}{7} \frac{7}{8} \frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Etapa 1.10.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{8} \frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Etapa 1.11

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.11.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{8} \frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Etapa 1.11.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\log_{3} (3 (\frac{1}{8}) \frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Etapa 1.12

Combine $3$ e $\frac{1}{8}$ .

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Etapa 1.13

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.13.1

Fatore $3$ de $9$ .

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3 (3)})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Etapa 1.13.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3 \cdot 3})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Etapa 1.13.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\log_{3} (\frac{1}{8} \cdot \frac{8}{3})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Etapa 1.14

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.14.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\log_{3} (\frac{1}{8} \cdot \frac{8}{3})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Etapa 1.14.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\log_{3} (\frac{1}{3})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Etapa 1.15

A base do logaritmo $3$ de $\frac{1}{3}$ é $- 1$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Etapa 2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva $\frac{9}{10}$ como $9 \cdot 10^{- 1}$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (9 \cdot 10^{- 1})}$

Etapa 2.2

Reescreva $\log (9 \cdot 10^{- 1})$ como $\log (9) + \log (10^{- 1})$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (9) + \log (10^{- 1})}$

Etapa 2.3

Use as regras logarítmicas para mover $- 1$ para fora do expoente.

$\frac{- 1}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (9) - \log (10)}$

Etapa 2.4

A base do logaritmo $10$ de $10$ é $1$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (9) - 1 \cdot 1}$

Etapa 2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (9) - 1}$

Etapa 2.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Reescreva $\log (9)$ como $\log (3^{2})$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (3^{2}) - 1}$

Etapa 2.6.2

Expanda $\log (3^{2})$ movendo $2$ para fora do logaritmo.

$\frac{- 1}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + 2 \log (3) - 1}$

Etapa 2.7

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + 2 \log (3) - 1}$

Etapa 2.8

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} \frac{8}{9}) + 2 \log (3) - 1}$

Etapa 2.9

Reescreva $\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} \frac{8}{9}) + 2 \log (3) - 1$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{2 (2)}{5} \cdot \frac{5}{6} \frac{8}{9}) + 2 \log (3) - 1}$

Etapa 2.9.1.2

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{2 \cdot 2}{5} \cdot \frac{5}{2 \cdot 3} \frac{8}{9}) + 2 \log (3) - 1}$

Etapa 2.9.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{2 \cdot 2}{5} \cdot \frac{5}{2 \cdot 3} \frac{8}{9}) + 2 \log (3) - 1}$

Etapa 2.9.1.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{3} \frac{8}{9}) + 2 \log (3) - 1}$

Etapa 2.9.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{3} \frac{8}{9}) + 2 \log (3) - 1}$

Etapa 2.9.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (2 (\frac{1}{3}) \frac{8}{9}) + 2 \log (3) - 1}$

Etapa 2.9.3

Combine $2$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{2}{3} \cdot \frac{8}{9}) + 2 \log (3) - 1}$

Etapa 2.9.4

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot \frac{8}{9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.4.1

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{8}{9}$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 9}) + 2 \log (3) - 1}$

Etapa 2.9.4.2

Multiplique $2$ por $8$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{16}{3 \cdot 9}) + 2 \log (3) - 1}$

Etapa 2.9.4.3

Multiplique $3$ por $9$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{16}{27}) + 2 \log (3) - 1}$

Etapa 2.9.5

Simplifique $2 \log (3)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{16}{27}) + \log (3^{2}) - 1}$

Etapa 2.9.6

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{16}{27}) + \log (9) - 1}$

Etapa 2.9.7

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{16}{27} \cdot 9) - 1}$

Etapa 2.9.8

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.8.1

Fatore $9$ de $27$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{16}{9 (3)} \cdot 9) - 1}$

Etapa 2.9.8.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{16}{9 \cdot 3} \cdot 9) - 1}$

Etapa 2.9.8.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{16}{3}) - 1}$

Etapa 3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{16}{3}) - 1}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{16}{3}) - 1}$

Forma decimal:

$3.71582973 \dots$