Pré-cálculo Exemplos

$(4 \sqrt{2}, - \frac{π}{4})$

Etapa 1

Use as fórmulas da conversão para converter coordenadas polares em retangulares.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Etapa 2

Substitua os valores conhecidos de $r = 4 \sqrt{2}$ e $θ = - \frac{π}{4}$ nas fórmulas.

$x = (4 \sqrt{2}) \cos (- \frac{π}{4})$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Etapa 3

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$x = 4 \sqrt{2} \cos (\frac{7 π}{4})$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Etapa 4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$x = 4 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4})$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Etapa 5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 4 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Etapa 6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.1

Fatore $2$ de $4 \sqrt{2}$ .

$x = 2 (2 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum.

$x = 2 (2 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Etapa 6.3

Reescreva a expressão.

$x = 2 \sqrt{2} \sqrt{2}$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

$x = 2 \sqrt{2} \sqrt{2}$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Etapa 7

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = 2 (\sqrt{2} \sqrt{2})$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Etapa 8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = 2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Etapa 9

Some $1$ e $1$ .

$x = 2 {\sqrt{2}}^{2}$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Etapa 10

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 10.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Etapa 10.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Etapa 10.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Etapa 10.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.4.1

Cancele o fator comum.

$x = 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Etapa 10.4.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 \cdot 2$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

$x = 2 \cdot 2$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Etapa 10.5

Avalie o expoente.

$x = 2 \cdot 2$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

$x = 2 \cdot 2$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Etapa 11

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = 4$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Etapa 12

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$x = 4$

$y = 4 \sqrt{2} \sin (\frac{7 π}{4})$

Etapa 13

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$x = 4$

$y = 4 \sqrt{2} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Etapa 14

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 4$

$y = 4 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 15

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 15.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ para o numerador.

$x = 4$

$y = 4 \sqrt{2} (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

Etapa 15.2

Fatore $2$ de $4 \sqrt{2}$ .

$x = 4$

$y = 2 (2 \sqrt{2}) (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

Etapa 15.3

Cancele o fator comum.

$x = 4$

$y = 2 (2 \sqrt{2}) (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

Etapa 15.4

Reescreva a expressão.

$x = 4$

$y = 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

$x = 4$

$y = 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Etapa 16

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x = 4$

$y = - 2 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Etapa 17

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = 4$

$y = - 2 (\sqrt{2} \sqrt{2})$

Etapa 18

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = 4$

$y = - 2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Etapa 19

Some $1$ e $1$ .

$x = 4$

$y = - 2 {\sqrt{2}}^{2}$

Etapa 20

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 20.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = 4$

$y = - 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 20.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 4$

$y = - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 20.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = 4$

$y = - 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Etapa 20.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 20.4.1

Cancele o fator comum.

$x = 4$

$y = - 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Etapa 20.4.2

Reescreva a expressão.

$x = 4$

$y = - 2 \cdot 2$

$x = 4$

$y = - 2 \cdot 2$

Etapa 20.5

Avalie o expoente.

$x = 4$

$y = - 2 \cdot 2$

$x = 4$

$y = - 2 \cdot 2$

Etapa 21

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$x = 4$

$y = - 4$

Etapa 22

A representação retangular do ponto polar $(4 \sqrt{2}, - \frac{π}{4})$ é $(4, - 4)$ .

$(4, - 4)$