Pré-cálculo Exemplos

$(4, \frac{π}{12})$

Etapa 1

Use as fórmulas da conversão para converter coordenadas polares em retangulares.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Etapa 2

Substitua os valores conhecidos de $r = 4$ e $θ = \frac{π}{12}$ nas fórmulas.

$x = (4) \cos (\frac{π}{12})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{12})$ é $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Divida $\frac{π}{12}$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$x = 4 \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 3.2

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$x = 4 (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 3.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 3.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 3.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{6}))$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 3.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 3.7

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 3.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.7.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 3.7.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 3.7.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = 4 (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 3.7.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 3.7.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

$x = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 3.7.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 3.7.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 3.7.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

$x = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

$x = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 3.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = 4 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

$x = 4 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

$x = 4 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum.

$x = 4 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 4.2

Reescreva a expressão.

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{12})$ é $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 5.1

Divida $\frac{π}{12}$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Etapa 5.2

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos.

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 5.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 5.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 5.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 5.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 5.7

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 5.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.7.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 5.7.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 5.7.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 5.7.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 5.7.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 5.7.1.2

Multiplique $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 5.7.1.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Etapa 5.7.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Etapa 5.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

Etapa 6

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 6.1

Cancele o fator comum.

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

Etapa 6.2

Reescreva a expressão.

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

Etapa 7

A representação retangular do ponto polar $(4, \frac{π}{12})$ é $(\sqrt{6} + \sqrt{2}, \sqrt{6} - \sqrt{2})$ .

$(\sqrt{6} + \sqrt{2}, \sqrt{6} - \sqrt{2})$