Pré-cálculo Exemplos

$(- 8, - 15)$

Etapa 1

Use as fórmulas da conversão para converter coordenadas polares em retangulares.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Etapa 2

Substitua os valores conhecidos de $r = - 8$ e $θ = - 15$ nas fórmulas.

$x = (- 8) \cos (- 15)$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Etapa 3

O valor exato de $\cos (- 15)$ é $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 3.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$x = - 8 \cos (15)$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Etapa 3.2

Divida $15$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$x = - 8 \cos (45 - 30)$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Etapa 3.3

Separar negativação.

$x = - 8 \cos (45 - (30))$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Etapa 3.4

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$x = - 8 (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30))$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Etapa 3.5

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 8 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (30) + \sin (45) \sin (30))$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Etapa 3.6

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 8 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30))$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Etapa 3.7

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 8 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (30))$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Etapa 3.8

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$x = - 8 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Etapa 3.9

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 3.9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.9.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 3.9.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 8 (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Etapa 3.9.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = - 8 (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Etapa 3.9.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = - 8 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Etapa 3.9.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = - 8 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

$x = - 8 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Etapa 3.9.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 3.9.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = - 8 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Etapa 3.9.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = - 8 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

$x = - 8 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

$x = - 8 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Etapa 3.9.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = - 8 \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

$x = - 8 \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

$x = - 8 \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Etapa 4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.1

Fatore $4$ de $- 8$ .

$x = 4 (- 2) (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum.

$x = 4 \cdot (- 2 \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Etapa 4.3

Reescreva a expressão.

$x = - 2 (\sqrt{6} + \sqrt{2})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

$x = - 2 (\sqrt{6} + \sqrt{2})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Etapa 5

Aplique a propriedade distributiva.

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Etapa 6

O valor exato de $\sin (- 15)$ é $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 6.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- \sin (15))$

Etapa 6.2

Divida $15$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- \sin (45 - 30))$

Etapa 6.3

Separar negativação.

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- \sin (45 - (30)))$

Etapa 6.4

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos.

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)))$

Etapa 6.5

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (30) - \cos (45) \sin (30)))$

Etapa 6.6

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)))$

Etapa 6.7

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (30)))$

Etapa 6.8

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Etapa 6.9

Simplifique $- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$ .

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Etapa 6.9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.9.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 6.9.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Etapa 6.9.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Etapa 6.9.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Etapa 6.9.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Etapa 6.9.1.2

Multiplique $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 6.9.1.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}))$

Etapa 6.9.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}))$

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}))$

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}))$

Etapa 6.9.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

Etapa 7

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 7.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ para o numerador.

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 \frac{- (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

Etapa 7.2

Fatore $4$ de $- 8$ .

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = 4 (- 2) (\frac{- (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4})$

Etapa 7.3

Cancele o fator comum.

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = 4 \cdot (- 2 \frac{- (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4})$

Etapa 7.4

Reescreva a expressão.

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 2 (- (\sqrt{6} - \sqrt{2}))$

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 2 (- (\sqrt{6} - \sqrt{2}))$

Etapa 8

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = 2 (\sqrt{6} - \sqrt{2})$

Etapa 9

Aplique a propriedade distributiva.

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = 2 \sqrt{6} + 2 (- \sqrt{2})$

Etapa 10

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

Etapa 11

A representação retangular do ponto polar $(- 8, - 15)$ é $(- 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2})$ .

$(- 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2})$