Pré-cálculo Exemplos

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{36} - \frac{y + 4}{81} = 1$

Etapa 1

Isole $y$ no lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Simplifique $\frac{{(x + 4)}^{2}}{36} - \frac{y + 4}{81}$ .

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Etapa 1.1.1

Para escrever $\frac{{(x + 4)}^{2}}{36}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{36} \cdot \frac{9}{9} - \frac{y + 4}{81} = 1$

Etapa 1.1.2

Para escrever $- \frac{y + 4}{81}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{36} \cdot \frac{9}{9} - \frac{y + 4}{81} \cdot \frac{4}{4} = 1$

Etapa 1.1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $324$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.1.3.1

Multiplique $\frac{{(x + 4)}^{2}}{36}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 9}{36 \cdot 9} - \frac{y + 4}{81} \cdot \frac{4}{4} = 1$

Etapa 1.1.3.2

Multiplique $36$ por $9$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 9}{324} - \frac{y + 4}{81} \cdot \frac{4}{4} = 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $\frac{y + 4}{81}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 9}{324} - \frac{(y + 4) \cdot 4}{81 \cdot 4} = 1$

Etapa 1.1.3.4

Multiplique $81$ por $4$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 9}{324} - \frac{(y + 4) \cdot 4}{324} = 1$

Etapa 1.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 9 - (y + 4) \cdot 4}{324} = 1$

Etapa 1.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.5.1

Mova $9$ para a esquerda de ${(x + 4)}^{2}$ .

$\frac{9 \cdot {(x + 4)}^{2} - (y + 4) \cdot 4}{324} = 1$

Etapa 1.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9 {(x + 4)}^{2} + (- y - 1 \cdot 4) \cdot 4}{324} = 1$

Etapa 1.1.5.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{9 {(x + 4)}^{2} + (- y - 4) \cdot 4}{324} = 1$

Etapa 1.1.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9 {(x + 4)}^{2} - y \cdot 4 - 4 \cdot 4}{324} = 1$

Etapa 1.1.5.5

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{9 {(x + 4)}^{2} - 4 y - 4 \cdot 4}{324} = 1$

Etapa 1.1.5.6

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$\frac{9 {(x + 4)}^{2} - 4 y - 16}{324} = 1$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $324$ .

$\frac{9 {(x + 4)}^{2} - 4 y - 16}{324} \cdot 324 = 1 \cdot 324$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.3.1.1

Cancele o fator comum de $324$ .

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Etapa 1.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 {(x + 4)}^{2} - 4 y - 16}{324} \cdot 324 = 1 \cdot 324$

Etapa 1.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$9 {(x + 4)}^{2} - 4 y - 16 = 1 \cdot 324$

Etapa 1.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.2.1

Multiplique $324$ por $1$ .

$9 {(x + 4)}^{2} - 4 y - 16 = 324$

Etapa 1.4

Resolva $y$ .

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Etapa 1.4.1

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.4.1.1

Subtraia $9 {(x + 4)}^{2}$ dos dois lados da equação.

$- 4 y - 16 = 324 - 9 {(x + 4)}^{2}$

Etapa 1.4.1.2

Some $16$ aos dois lados da equação.

$- 4 y = 324 - 9 {(x + 4)}^{2} + 16$

Etapa 1.4.1.3

Some $324$ e $16$ .

$- 4 y = - 9 {(x + 4)}^{2} + 340$

Etapa 1.4.2

Divida cada termo em $- 4 y = - 9 {(x + 4)}^{2} + 340$ por $- 4$ e simplifique.

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Etapa 1.4.2.1

Divida cada termo em $- 4 y = - 9 {(x + 4)}^{2} + 340$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- 9 {(x + 4)}^{2}}{- 4} + \frac{340}{- 4}$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

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Etapa 1.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- 9 {(x + 4)}^{2}}{- 4} + \frac{340}{- 4}$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 9 {(x + 4)}^{2}}{- 4} + \frac{340}{- 4}$

Etapa 1.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.4.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.2.3.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y = \frac{9 {(x + 4)}^{2}}{4} + \frac{340}{- 4}$

Etapa 1.4.2.3.1.2

Divida $340$ por $- 4$ .

$y = \frac{9 {(x + 4)}^{2}}{4} - 85$

Etapa 1.5

Reordene os termos.

$y = \frac{9}{4} \cdot {(x + 4)}^{2} - 85$

Etapa 2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{9}{4}$

$h = - 4$

$k = - 85$

Etapa 3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para cima.

Abre para cima

Etapa 4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- 4, - 85)$

Etapa 5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{9}{4}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Combine $4$ e $\frac{9}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 9}{4}}$

Etapa 5.3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.2.1

Multiplique $4$ por $9$ .

$\frac{1}{\frac{36}{4}}$

Etapa 5.3.2.2

Divida $36$ por $4$ .

$\frac{1}{9}$

Etapa 6

Encontre o foco.

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Etapa 6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 4, - \frac{764}{9})$

Etapa 7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = - 4$

Etapa 8

Encontre a diretriz.

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Etapa 8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = - \frac{766}{9}$

Etapa 9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para cima

Vértice: $(- 4, - 85)$

Foco: $(- 4, - \frac{764}{9})$

Eixo de simetria: $x = - 4$

Diretriz: $y = - \frac{766}{9}$

Etapa 10