Pré-cálculo Exemplos

$u = \cos (\frac{π}{4}) i + \sin (\frac{π}{4}) j$ , $v = \cos (\frac{2 π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

Step 1

Simplifique $\cos (\frac{π}{4}) i + \sin (\frac{π}{4}) j$ .

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot i + \sin (\frac{π}{4}) j$

$v = \cos (\frac{2 π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

Combine $\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $i$ .

$u = \frac{\sqrt{2} i}{2} + \sin (\frac{π}{4}) j$

$v = \cos (\frac{2 π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u = \frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} j$

$v = \cos (\frac{2 π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

Combine $\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $j$ .

$u = \frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{2} j}{2}$

$v = \cos (\frac{2 π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

$u = \frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{2} j}{2}$

$v = \cos (\frac{2 π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

Reordene $\frac{\sqrt{2} i}{2}$ e $\frac{\sqrt{2} j}{2}$ .

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \cos (\frac{2 π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \cos (\frac{2 π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

Step 2

Simplifique $\cos (\frac{2 π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$ .

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$v = - \cos (\frac{π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$v = - \frac{1}{2} \cdot i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

Combine $i$ e $\frac{1}{2}$ .

$v = - \frac{i}{2} + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$v = - \frac{i}{2} + \sin (\frac{π}{3}) j$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$v = - \frac{i}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} j$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

Combine $\frac{\sqrt{3}}{2}$ e $j$ .

$v = - \frac{i}{2} + \frac{\sqrt{3} j}{2}$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = - \frac{i}{2} + \frac{\sqrt{3} j}{2}$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

Reordene $- \frac{i}{2}$ e $\frac{\sqrt{3} j}{2}$ .

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

Step 3

Resolva a equação para $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Reescreva a equação como $\cos (\frac{π}{4}) i + \sin (\frac{π}{4}) j = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$ .

$\cos (\frac{π}{4}) i + \sin (\frac{π}{4}) j = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot i + \sin (\frac{π}{4}) j = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

Combine $\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $i$ .

$\frac{\sqrt{2} i}{2} + \sin (\frac{π}{4}) j = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} j = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

Combine $\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $j$ .

$\frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{2} j}{2} = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

$\frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{2} j}{2} = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

$\frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{2} j}{2} = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

Mova todos os termos que contêm $j$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Subtraia $\frac{\sqrt{2} j}{2}$ dos dois lados da equação.

$\frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{2} j}{2} - \frac{\sqrt{2} j}{2} = \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{2} i + \sqrt{2} j - \sqrt{2} j}{2} = \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

Combine os termos opostos em $\sqrt{2} i + \sqrt{2} j - \sqrt{2} j$ .

Toque para ver mais passagens...

Subtraia $\sqrt{2} j$ de $\sqrt{2} j$ .

$\frac{\sqrt{2} i + 0}{2} = \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

Some $\sqrt{2} i$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{2} i}{2} = \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

$\frac{\sqrt{2} i}{2} = \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

$\frac{\sqrt{2} i}{2} = \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

Como $\frac{\sqrt{2} i}{2} = \frac{\sqrt{2} i}{2}$ , a equação sempre será verdadeira.

Sempre verdadeiro

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

Sempre verdadeiro

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

Step 4

Resolva a equação para $i$ .

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2} = - \cos (\frac{π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

Sempre verdadeiro

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2} = - \frac{1}{2} \cdot i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

Sempre verdadeiro

Combine $i$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2} = - \frac{i}{2} + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

Sempre verdadeiro

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2} = - \frac{i}{2} + \sin (\frac{π}{3}) j$

Sempre verdadeiro

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2} = - \frac{i}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} j$

Sempre verdadeiro

Combine $\frac{\sqrt{3}}{2}$ e $j$ .

$\frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2} = - \frac{i}{2} + \frac{\sqrt{3} j}{2}$

Sempre verdadeiro

$\frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2} = - \frac{i}{2} + \frac{\sqrt{3} j}{2}$

Sempre verdadeiro

Mova todos os termos que contêm $i$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Some $\frac{i}{2}$ aos dois lados da equação.

$\frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2} + \frac{i}{2} = \frac{\sqrt{3} j}{2}$

Sempre verdadeiro

Combine os termos opostos em $\frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2} + \frac{i}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Some $- \frac{i}{2}$ e $\frac{i}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} j}{2} + 0 = \frac{\sqrt{3} j}{2}$

Sempre verdadeiro

Some $\frac{\sqrt{3} j}{2}$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{3} j}{2} = \frac{\sqrt{3} j}{2}$

Sempre verdadeiro

$\frac{\sqrt{3} j}{2} = \frac{\sqrt{3} j}{2}$

Sempre verdadeiro

$\frac{\sqrt{3} j}{2} = \frac{\sqrt{3} j}{2}$

Sempre verdadeiro

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$\sqrt{3} j = \sqrt{3} j$

Sempre verdadeiro

Mova todos os termos que contêm $j$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Subtraia $\sqrt{3} j$ dos dois lados da equação.

$\sqrt{3} j - \sqrt{3} j = 0$

Sempre verdadeiro

Subtraia $\sqrt{3} j$ de $\sqrt{3} j$ .

$0 = 0$

Sempre verdadeiro

$0 = 0$

Sempre verdadeiro

Como $0 = 0$ , a equação sempre será verdadeira.

Sempre verdadeiro