Pré-cálculo Exemplos

$x = 2 \sin (t)$ , $y = 2 \cos (t)$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$y = 2 \cos (\arcsin (\frac{x}{2}))$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Etapa 2

Simplifique $2 \cos (\arcsin (\frac{x}{2}))$ .

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Etapa 2.1

Escreva a expressão usando expoentes.

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Etapa 2.1.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, 0)$ e a origem. Então, $\arcsin (\frac{x}{2})$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ . Portanto, $\cos (\arcsin (\frac{x}{2}))$ é $\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}$ .

$y = 2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Etapa 2.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y = 2 \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

$y = 2 \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Etapa 2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \frac{x}{2}$ .

$y = 2 \sqrt{(1 + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Etapa 2.3

Simplifique os termos.

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Etapa 2.3.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y = 2 \sqrt{(\frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Etapa 2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = 2 \sqrt{\frac{2 + x}{2} \cdot (1 - \frac{x}{2})}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Etapa 2.3.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y = 2 \sqrt{\frac{2 + x}{2} \cdot (\frac{2}{2} - \frac{x}{2})}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Etapa 2.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = 2 \sqrt{\frac{2 + x}{2} \cdot \frac{2 - x}{2}}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Etapa 2.3.5

Multiplique $\frac{2 + x}{2}$ por $\frac{2 - x}{2}$ .

$y = 2 \sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{2 \cdot 2}}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Etapa 2.3.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = 2 \sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

$y = 2 \sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Etapa 2.4

Reescreva $\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))$ .

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Etapa 2.4.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $(2 + x) (2 - x)$ .

$y = 2 \sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{4}}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Etapa 2.4.2

Fatore a potência perfeita $2^{2}$ de $4$ .

$y = 2 \sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Etapa 2.4.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = 2 \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

$y = 2 \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Etapa 2.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = 2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{(2 + x) (2 - x)})$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Etapa 2.6

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ .

$y = 2 (\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2})$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Etapa 2.7

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.7.1

Cancele o fator comum.

$y = 2 (\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2})$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Etapa 2.7.2

Reescreva a expressão.

$y = \sqrt{(2 + x) (2 - x)}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

$y = \sqrt{(2 + x) (2 - x)}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

$y = \sqrt{(2 + x) (2 - x)}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$