Pré-cálculo Exemplos

$\sin (θ) < 0$ , $\tan (θ) < 0$

Etapa 1

Simplifique a primeira desigualdade.

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Etapa 1.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do seno.

$θ < \arcsin (0)$ ou $\tan (θ) < 0$

Etapa 1.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$θ < 0$ ou $\tan (θ) < 0$

Etapa 1.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$θ = π - 0$ ou $\tan (θ) < 0$

Etapa 1.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$θ = π$ ou $\tan (θ) < 0$

Etapa 1.5

Encontre o período de $\sin (θ)$ .

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Etapa 1.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 1.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 1.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 1.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 1.6

O período da função $\sin (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ ou $\tan (θ) < 0$

Etapa 1.7

Consolide as respostas.

$θ = π n$ ou $\tan (θ) < 0$

Etapa 1.8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$0 < θ < π$

$π < θ < 2 π$ ou $\tan (θ) < 0$

Etapa 1.9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 1.9.1

Teste um valor no intervalo $0 < θ < π$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.9.1.1

Escolha um valor no intervalo $0 < θ < π$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$θ = 2$ ou $\tan (θ) < 0$

Etapa 1.9.1.2

Substitua $θ$ por $2$ na desigualdade original.

$\sin (2) < 0$ ou $\tan (θ) < 0$

Etapa 1.9.1.3

O lado esquerdo $0.90929742$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso ou $\tan (θ) < 0$

Etapa 1.9.2

Teste um valor no intervalo $π < θ < 2 π$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.9.2.1

Escolha um valor no intervalo $π < θ < 2 π$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$θ = 5$ ou $\tan (θ) < 0$

Etapa 1.9.2.2

Substitua $θ$ por $5$ na desigualdade original.

$\sin (5) < 0$ ou $\tan (θ) < 0$

Etapa 1.9.2.3

O lado esquerdo $- 0.95892427$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro ou $\tan (θ) < 0$

Etapa 1.9.3

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$0 < θ < π$ Falso

$π < θ < 2 π$ Verdadeiro ou $\tan (θ) < 0$

$0 < θ < π$ Falso

$π < θ < 2 π$ Verdadeiro ou $\tan (θ) < 0$

Etapa 1.10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$π + 2 π n < θ < 2 π + 2 π n$ ou $\tan (θ) < 0$

Etapa 2

Simplifique a segunda desigualdade.

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Etapa 2.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da tangente.

$π + 2 π n < θ < 2 π + 2 π n$ ou $θ < \arctan (0)$

Etapa 2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.1

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$π + 2 π n < θ < 2 π + 2 π n$ ou $θ < 0$

Etapa 2.3

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$π + 2 π n < θ < 2 π + 2 π n$ ou $θ = π + 0$

Etapa 2.4

Some $π$ e $0$ .

$π + 2 π n < θ < 2 π + 2 π n$ ou $θ = π$

Etapa 2.5

Encontre o período de $\tan (θ)$ .

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Etapa 2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 2.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 2.6

O período da função $\tan (θ)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$π + 2 π n < θ < 2 π + 2 π n$ ou $θ = π n, π + π n$

Etapa 2.7

Consolide as respostas.

$π + 2 π n < θ < 2 π + 2 π n$ ou $θ = π n$

Etapa 2.8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$π + 2 π n < θ < 2 π + 2 π n$ ou $0 < θ < π$

Etapa 2.9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 2.9.1

Teste um valor no intervalo $0 < θ < π$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.9.1.1

Escolha um valor no intervalo $0 < θ < π$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$π + 2 π n < θ < 2 π + 2 π n$ ou $θ = 2$

Etapa 2.9.1.2

Substitua $θ$ por $2$ na desigualdade original.

$π + 2 π n < θ < 2 π + 2 π n$ ou $\sin (2) < 0$

Etapa 2.9.1.3

O lado esquerdo $0.90929742$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

$π + 2 π n < θ < 2 π + 2 π n$ or False

Etapa 2.9.2

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$π + 2 π n < θ < 2 π + 2 π n$ or $0 < θ < π$ False

Etapa 2.10

Como não há números que se enquadram no intervalo, essa desigualdade não tem solução.

$π + 2 π n < θ < 2 π + 2 π n$ or No solution

Nenhuma solução