Pré-cálculo Exemplos

$y > 4^{x}$ , $y < 8 - x^{2}$ , $x + y > 0$

Etapa 1

Simplifique a primeira desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva de forma que $x$ esteja do lado esquerdo da desigualdade.

$4^{x} < y$ e $y < 8 - x^{2}$

Etapa 1.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (4^{x}) < \ln (y)$ e $y < 8 - x^{2}$

Etapa 1.3

Expanda $\ln (4^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (4) < \ln (y)$ e $y < 8 - x^{2}$

Etapa 1.4

Divida cada termo em $x \ln (4) < \ln (y)$ por $\ln (4)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Divida cada termo em $x \ln (4) < \ln (y)$ por $\ln (4)$ .

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $y < 8 - x^{2}$

Etapa 1.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (4)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $y < 8 - x^{2}$

Etapa 1.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $y < 8 - x^{2}$

Etapa 2

Simplifique a segunda desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva de forma que $x$ esteja do lado esquerdo da desigualdade.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $8 - x^{2} > y$

Etapa 2.2

Subtraia $8$ dos dois lados da desigualdade.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $- x^{2} > y - 8$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $- x^{2} > y - 8$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $- x^{2} > y - 8$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $\frac{- x^{2}}{- 1} < \frac{y}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $\frac{x^{2}}{1} < \frac{y}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 2.3.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $x^{2} < \frac{y}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{y}{- 1}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $x^{2} < - 1 \cdot y + \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 2.3.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot y$ como $- y$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $x^{2} < - y + \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 2.3.3.1.3

Divida $- 8$ por $- 1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $x^{2} < - y + 8$

Etapa 2.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $\sqrt{x^{2}} < \sqrt{- y + 8}$

Etapa 2.5

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $| x | < \sqrt{- y + 8}$

Etapa 2.6

Escreva $| x | < \sqrt{- y + 8}$ em partes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$x \geq 0$

Etapa 2.6.2

Na parte em que $x$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$x < \sqrt{- y + 8}$

Etapa 2.6.3

Encontre o domínio de $x < \sqrt{- y + 8}$ e a intersecção com $x \geq 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1

Encontre o domínio de $x < \sqrt{- y + 8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.1

Defina o radicando em $\sqrt{- y + 8}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$- y + 8 \geq 0$

Etapa 2.6.3.1.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.2.1

Subtraia $8$ dos dois lados da desigualdade.

$- y \geq - 8$

Etapa 2.6.3.1.2.2

Divida cada termo em $- y \geq - 8$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.2.2.1

Divida cada termo em $- y \geq - 8$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- y}{- 1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 2.6.3.1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y}{1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 2.6.3.1.2.2.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y \leq \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 2.6.3.1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.2.2.3.1

Divida $- 8$ por $- 1$ .

$y \leq 8$

Etapa 2.6.3.1.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 8]$

Etapa 2.6.3.2

Encontre a intersecção de $x \geq 0$ e $(- \infty, 8]$ .

$0 \leq x \leq 8$

Etapa 2.6.4

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$x < 0$

Etapa 2.6.5

Na parte em que $x$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- x < \sqrt{- y + 8}$

Etapa 2.6.6

Encontre o domínio de $- x < \sqrt{- y + 8}$ e a intersecção com $x < 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.6.1

Encontre o domínio de $- x < \sqrt{- y + 8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.6.1.1

Defina o radicando em $\sqrt{- y + 8}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$- y + 8 \geq 0$

Etapa 2.6.6.1.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.6.1.2.1

Subtraia $8$ dos dois lados da desigualdade.

$- y \geq - 8$

Etapa 2.6.6.1.2.2

Divida cada termo em $- y \geq - 8$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.6.1.2.2.1

Divida cada termo em $- y \geq - 8$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- y}{- 1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 2.6.6.1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.6.1.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y}{1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 2.6.6.1.2.2.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y \leq \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 2.6.6.1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.6.1.2.2.3.1

Divida $- 8$ por $- 1$ .

$y \leq 8$

Etapa 2.6.6.1.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 8]$

Etapa 2.6.6.2

Encontre a intersecção de $x < 0$ e $(- \infty, 8]$ .

$x < 0$

Etapa 2.6.7

Escreva em partes.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e ${\begin{cases} x < \sqrt{- y + 8} & 0 \leq x \leq 8 \\ - x < \sqrt{- y + 8} & x < 0 \end{cases}$

Etapa 2.7

Resolva $x < \sqrt{- y + 8}$ quando $0 \leq x \leq 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Resolva $x < \sqrt{- y + 8}$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.1

Reescreva de forma que $y$ esteja do lado esquerdo da desigualdade.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $\sqrt{- y + 8} > x$

Etapa 2.7.1.2

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e ${\sqrt{- y + 8}}^{2} > x^{2}$

Etapa 2.7.1.3

Simplifique cada lado da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{- y + 8}$ como ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > x^{2}$

Etapa 2.7.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.3.2.1

Simplifique ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > x^{2}$

Etapa 2.7.1.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > x^{2}$

Etapa 2.7.1.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $- y + 8 > x^{2}$

Etapa 2.7.1.3.2.1.2

Simplifique.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $- y + 8 > x^{2}$

Etapa 2.7.1.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.4.1

Subtraia $8$ dos dois lados da desigualdade.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $- y > x^{2} - 8$

Etapa 2.7.1.4.2

Divida cada termo em $- y > x^{2} - 8$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.4.2.1

Divida cada termo em $- y > x^{2} - 8$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $\frac{- y}{- 1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 2.7.1.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.4.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $\frac{y}{1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 2.7.1.4.2.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $y < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 2.7.1.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.4.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.4.2.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $y < - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 2.7.1.4.2.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $y < - x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 2.7.1.4.2.3.1.3

Divida $- 8$ por $- 1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $y < - x^{2} + 8$

Etapa 2.7.2

Encontre a intersecção de $y < - x^{2} + 8$ e $0 \leq x \leq 8$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ and $0 \leq x \leq N o$ Minimum

Etapa 2.8

Resolva $- x < \sqrt{- y + 8}$ quando $x < 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Resolva $- x < \sqrt{- y + 8}$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.1

Reescreva de forma que $y$ esteja do lado esquerdo da desigualdade.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $\sqrt{- y + 8} > - x$

Etapa 2.8.1.2

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e ${\sqrt{- y + 8}}^{2} > {(- x)}^{2}$

Etapa 2.8.1.3

Simplifique cada lado da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{- y + 8}$ como ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(- x)}^{2}$

Etapa 2.8.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.3.2.1

Simplifique ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- x)}^{2}$

Etapa 2.8.1.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- x)}^{2}$

Etapa 2.8.1.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $- y + 8 > {(- x)}^{2}$

Etapa 2.8.1.3.2.1.2

Simplifique.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $- y + 8 > {(- x)}^{2}$

Etapa 2.8.1.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.3.3.1

Simplifique ${(- x)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.3.3.1.1

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $- y + 8 > {(- 1)}^{2} x^{2}$

Etapa 2.8.1.3.3.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $- y + 8 > 1 x^{2}$

Etapa 2.8.1.3.3.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $- y + 8 > x^{2}$

Etapa 2.8.1.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.4.1

Subtraia $8$ dos dois lados da desigualdade.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $- y > x^{2} - 8$

Etapa 2.8.1.4.2

Divida cada termo em $- y > x^{2} - 8$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.4.2.1

Divida cada termo em $- y > x^{2} - 8$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $\frac{- y}{- 1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 2.8.1.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.4.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $\frac{y}{1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 2.8.1.4.2.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $y < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 2.8.1.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.4.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.4.2.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $y < - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 2.8.1.4.2.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $y < - x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 2.8.1.4.2.3.1.3

Divida $- 8$ por $- 1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $y < - x^{2} + 8$

Etapa 2.8.2

Encontre a intersecção de $y < - x^{2} + 8$ e $x < 0$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ and $x < N o$ Minimum

Etapa 2.9

Encontre a união das soluções.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ and $x < N o$ Maximum

Etapa 3