Pré-cálculo Exemplos

$x = t^{2} + t$ , $y = 2 t - t$

Etapa 1

Estabeleça a equação paramétrica de $x (t)$ para resolver a equação para $t$ .

$x = t^{2} + t$

Etapa 2

Reescreva a equação como $t^{2} + t = x$ .

$t^{2} + t = x$

Etapa 3

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$t^{2} + t - x = 0$

Etapa 4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 1$ e $c = - x$ na fórmula quadrática e resolva $t$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Etapa 6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Etapa 7

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Etapa 7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Etapa 7.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$t = \frac{- 1 + \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Etapa 7.4

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Etapa 7.5

Fatore $- 1$ de $\sqrt{1 + 4 x}$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{1 + 4 x})}{2}$

Etapa 7.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{1 + 4 x})$ .

$t = \frac{- 1 (1 - \sqrt{1 + 4 x})}{2}$

Etapa 7.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$t = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Etapa 8

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 8.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Etapa 8.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Etapa 8.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$t = \frac{- 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Etapa 8.4

Fatore $- 1$ de $- 1 - \sqrt{1 + 4 x}$ .

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Etapa 8.4.1

Reordene $1$ e $4 x$ .

$t = \frac{- 1 - \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Etapa 8.4.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Etapa 8.4.3

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{4 x + 1}$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{4 x + 1})}{2}$

Etapa 8.4.4

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (\sqrt{4 x + 1})$ .

$t = \frac{- 1 (1 + \sqrt{4 x + 1})}{2}$

Etapa 8.4.5

Reescreva $- 1 (1 + \sqrt{4 x + 1})$ como $- (1 + \sqrt{4 x + 1})$ .

$t = \frac{- (1 + \sqrt{4 x + 1})}{2}$

Etapa 8.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$t = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Etapa 9

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$t = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$t = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Etapa 10

Substitua $t$ na equação por $y$ para obter a equação em termos de $x$ .

$y = 2 (- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}) - (- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})$

Etapa 11

Multiplique $- 1$ por $- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$ .

$y = 2 (- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Etapa 12

Simplifique $2 (- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$ .

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Etapa 12.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1

Multiplique $2$ por cada elemento da matriz.

$y = (2 (- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}), 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Etapa 12.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

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Etapa 12.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 12.1.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$ para o numerador.

$y = (2 (\frac{- (1 - \sqrt{1 + 4 x})}{2}), 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Etapa 12.1.2.1.2

Cancele o fator comum.

$y = (2 \frac{- (1 - \sqrt{1 + 4 x})}{2}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Etapa 12.1.2.1.3

Reescreva a expressão.

$y = (- (1 - \sqrt{1 + 4 x}), 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = (- (1 - \sqrt{1 + 4 x}), 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Etapa 12.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = (- 1 \cdot 1 - - \sqrt{1 + 4 x}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Etapa 12.1.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y = (- 1 - - \sqrt{1 + 4 x}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Etapa 12.1.2.4

Multiplique $- - \sqrt{1 + 4 x}$ .

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Etapa 12.1.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = (- 1 + 1 \sqrt{1 + 4 x}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Etapa 12.1.2.4.2

Multiplique $\sqrt{1 + 4 x}$ por $1$ .

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Etapa 12.1.2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 12.1.2.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$ para o numerador.

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, 2 (\frac{- (1 + \sqrt{4 x + 1})}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Etapa 12.1.2.5.2

Cancele o fator comum.

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, 2 \frac{- (1 + \sqrt{4 x + 1})}{2}) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Etapa 12.1.2.5.3

Reescreva a expressão.

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - (1 + \sqrt{4 x + 1})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - (1 + \sqrt{4 x + 1})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Etapa 12.1.2.6

Aplique a propriedade distributiva.

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 \cdot 1 - \sqrt{4 x + 1}) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Etapa 12.1.2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Etapa 12.2

Para escrever $(- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Etapa 12.3

Simplifique os termos.

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Etapa 12.3.1

Combine $(- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1})$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{(- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) \cdot 2}{2} + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Etapa 12.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{(- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) \cdot 2 + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = \frac{(- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) \cdot 2 + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Etapa 12.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.4.1

Mova $2$ para a esquerda de $(- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1})$ .

$y = \frac{2 \cdot (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Etapa 12.4.2

Multiplique $2$ por cada elemento da matriz.

$y = \frac{(2 (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}), 2 (- 1 - \sqrt{4 x + 1})) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Etapa 12.4.3

Simplifique cada elemento da matriz.

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Etapa 12.4.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{(2 \cdot - 1 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, 2 (- 1 - \sqrt{4 x + 1})) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Etapa 12.4.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{(- 2 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, 2 (- 1 - \sqrt{4 x + 1})) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Etapa 12.4.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{(- 2 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, 2 \cdot - 1 + 2 (- \sqrt{4 x + 1})) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Etapa 12.4.3.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{(- 2 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, - 2 + 2 (- \sqrt{4 x + 1})) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Etapa 12.4.3.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y = \frac{(- 2 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, - 2 - 2 \sqrt{4 x + 1}) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = \frac{(- 2 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, - 2 - 2 \sqrt{4 x + 1}) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = \frac{(- 2 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, - 2 - 2 \sqrt{4 x + 1}) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = \frac{(- 2 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, - 2 - 2 \sqrt{4 x + 1}) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$