Pré-cálculo Exemplos

$x = t^{2} + t$ , $y = \sqrt{t^{2} - t}$

Etapa 1

Estabeleça a equação paramétrica de $x (t)$ para resolver a equação para $t$ .

$x = t^{2} + t$

Etapa 2

Reescreva a equação como $t^{2} + t = x$ .

$t^{2} + t = x$

Etapa 3

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$t^{2} + t - x = 0$

Etapa 4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 1$ e $c = - x$ na fórmula quadrática e resolva $t$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Etapa 6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Etapa 7

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Etapa 7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Etapa 7.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$t = \frac{- 1 + \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Etapa 7.4

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Etapa 7.5

Fatore $- 1$ de $\sqrt{1 + 4 x}$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{1 + 4 x})}{2}$

Etapa 7.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{1 + 4 x})$ .

$t = \frac{- 1 (1 - \sqrt{1 + 4 x})}{2}$

Etapa 7.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$t = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Etapa 8

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 8.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Etapa 8.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Etapa 8.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$t = \frac{- 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Etapa 8.4

Fatore $- 1$ de $- 1 - \sqrt{1 + 4 x}$ .

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Etapa 8.4.1

Reordene $1$ e $4 x$ .

$t = \frac{- 1 - \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Etapa 8.4.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Etapa 8.4.3

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{4 x + 1}$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{4 x + 1})}{2}$

Etapa 8.4.4

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (\sqrt{4 x + 1})$ .

$t = \frac{- 1 (1 + \sqrt{4 x + 1})}{2}$

Etapa 8.4.5

Reescreva $- 1 (1 + \sqrt{4 x + 1})$ como $- (1 + \sqrt{4 x + 1})$ .

$t = \frac{- (1 + \sqrt{4 x + 1})}{2}$

Etapa 8.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$t = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Etapa 9

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$t = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$t = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Etapa 10

Substitua $t$ na equação por $y$ para obter a equação em termos de $x$ .

$y = \sqrt{{(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2} - (- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}$

Etapa 11

Multiplique $- 1$ por $- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$ .

$y = \sqrt{{(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2} + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}}$

Etapa 12

Simplifique $\sqrt{{(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2} + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}}$ .

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Etapa 12.1

Para escrever ${(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt{{(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}}$

Etapa 12.2

Simplifique os termos.

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Etapa 12.2.1

Combine ${(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt{\frac{{(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2} \cdot 2}{2} + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}}$

Etapa 12.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \sqrt{\frac{{(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2} \cdot 2 + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}}$

Etapa 12.3

Mova $2$ para a esquerda de ${(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2}$ .

$y = \sqrt{\frac{2 {(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2} + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}}$