Pré-cálculo Exemplos

$x = 4 \sqrt{4 - t^{2}}$ , $y = 3 (1 - \sqrt{4 - t^{2}})$

Etapa 1

Estabeleça a equação paramétrica de $x (t)$ para resolver a equação para $t$ .

$x = 4 \sqrt{4 - t^{2}}$

Etapa 2

Reescreva a equação como $4 \sqrt{4 - t^{2}} = x$ .

$4 \sqrt{4 - t^{2}} = x$

Etapa 3

Divida cada termo em $4 \sqrt{4 - t^{2}} = x$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $4 \sqrt{4 - t^{2}} = x$ por $4$ .

$\frac{4 \sqrt{4 - t^{2}}}{4} = \frac{x}{4}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \sqrt{4 - t^{2}}}{4} = \frac{x}{4}$

Etapa 3.2.1.1.2

Divida $\sqrt{4 - t^{2}}$ por $1$ .

$\sqrt{4 - t^{2}} = \frac{x}{4}$

Etapa 3.2.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} - t^{2}} = \frac{x}{4}$

Etapa 3.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2$ e $b = t$ .

$\sqrt{(2 + t) (2 - t)} = \frac{x}{4}$

Etapa 4

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{(2 + t) (2 - t)}}^{2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Etapa 5

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(2 + t) (2 - t)}$ como ${((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Simplifique ${({((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 5.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Etapa 5.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Etapa 5.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${((2 + t) (2 - t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Etapa 5.2.1.2

Expanda $(2 + t) (2 - t)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

${(2 (2 - t) + t (2 - t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Etapa 5.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

${(2 \cdot 2 + 2 (- t) + t (2 - t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Etapa 5.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

${(2 \cdot 2 + 2 (- t) + t \cdot 2 + t (- t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Etapa 5.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.3.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

${(4 + 2 (- t) + t \cdot 2 + t (- t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Etapa 5.2.1.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

${(4 - 2 t + t \cdot 2 + t (- t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Etapa 5.2.1.3.1.3

Mova $2$ para a esquerda de $t$ .

${(4 - 2 t + 2 \cdot t + t (- t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Etapa 5.2.1.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

${(4 - 2 t + 2 t - t \cdot t)}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Etapa 5.2.1.3.1.5

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.1.3.1.5.1

Mova $t$ .

${(4 - 2 t + 2 t - (t \cdot t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Etapa 5.2.1.3.1.5.2

Multiplique $t$ por $t$ .

${(4 - 2 t + 2 t - t^{2})}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Etapa 5.2.1.3.2

Some $- 2 t$ e $2 t$ .

${(4 + 0 - t^{2})}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Etapa 5.2.1.3.3

Some $4$ e $0$ .

${(4 - t^{2})}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Etapa 5.2.1.4

Simplifique.

$4 - t^{2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Simplifique ${(\frac{x}{4})}^{2}$ .

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Etapa 5.3.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{x}{4}$ .

$4 - t^{2} = \frac{x^{2}}{4^{2}}$

Etapa 5.3.1.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$4 - t^{2} = \frac{x^{2}}{16}$

Etapa 6

Resolva $t$ .

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Etapa 6.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$- t^{2} = \frac{x^{2}}{16} - 4$

Etapa 6.2

Divida cada termo em $- t^{2} = \frac{x^{2}}{16} - 4$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 6.2.1

Divida cada termo em $- t^{2} = \frac{x^{2}}{16} - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- t^{2}}{- 1} = \frac{\frac{x^{2}}{16}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{t^{2}}{1} = \frac{\frac{x^{2}}{16}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 6.2.2.2

Divida $t^{2}$ por $1$ .

$t^{2} = \frac{\frac{x^{2}}{16}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 6.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\frac{x^{2}}{16}}{- 1}$ .

$t^{2} = - 1 \cdot \frac{x^{2}}{16} + \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 6.2.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot \frac{x^{2}}{16}$ como $- \frac{x^{2}}{16}$ .

$t^{2} = - \frac{x^{2}}{16} + \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 6.2.3.1.3

Divida $- 4$ por $- 1$ .

$t^{2} = - \frac{x^{2}}{16} + 4$

Etapa 6.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{16} + 4}$

Etapa 6.4

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{16} + 4}$ .

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Etapa 6.4.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.4.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$t = \pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{16} + 2^{2}}$

Etapa 6.4.1.2

Reescreva $\frac{x^{2}}{16}$ como ${(\frac{x}{4})}^{2}$ .

$t = \pm \sqrt{- {(\frac{x}{4})}^{2} + 2^{2}}$

Etapa 6.4.1.3

Reordene $- {(\frac{x}{4})}^{2}$ e $2^{2}$ .

$t = \pm \sqrt{2^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}}$

Etapa 6.4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2$ e $b = \frac{x}{4}$ .

$t = \pm \sqrt{(2 + \frac{x}{4}) (2 - \frac{x}{4})}$

Etapa 6.4.3

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$t = \pm \sqrt{(2 \cdot \frac{4}{4} + \frac{x}{4}) (2 - \frac{x}{4})}$

Etapa 6.4.4

Combine $2$ e $\frac{4}{4}$ .

$t = \pm \sqrt{(\frac{2 \cdot 4}{4} + \frac{x}{4}) (2 - \frac{x}{4})}$

Etapa 6.4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$t = \pm \sqrt{\frac{2 \cdot 4 + x}{4} (2 - \frac{x}{4})}$

Etapa 6.4.6

Multiplique $2$ por $4$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} (2 - \frac{x}{4})}$

Etapa 6.4.7

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} (2 \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4})}$

Etapa 6.4.8

Combine $2$ e $\frac{4}{4}$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} (\frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{x}{4})}$

Etapa 6.4.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} \cdot \frac{2 \cdot 4 - x}{4}}$

Etapa 6.4.10

Multiplique $2$ por $4$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} \cdot \frac{8 - x}{4}}$

Etapa 6.4.11

Multiplique $\frac{8 + x}{4}$ por $\frac{8 - x}{4}$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{(8 + x) (8 - x)}{4 \cdot 4}}$

Etapa 6.4.12

Multiplique $4$ por $4$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{(8 + x) (8 - x)}{16}}$

Etapa 6.4.13

Reescreva $\frac{(8 + x) (8 - x)}{16}$ como ${(\frac{1}{4})}^{2} ((8 + x) (8 - x))$ .

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Etapa 6.4.13.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $(8 + x) (8 - x)$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((8 + x) (8 - x))}{16}}$

Etapa 6.4.13.2

Fatore a potência perfeita $4^{2}$ de $16$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((8 + x) (8 - x))}{4^{2} \cdot 1}}$

Etapa 6.4.13.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} ((8 + x) (8 - x))}{4^{2} \cdot 1}$ .

$t = \pm \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} ((8 + x) (8 - x))}$

Etapa 6.4.14

Elimine os termos abaixo do radical.

$t = \pm \frac{1}{4} \sqrt{(8 + x) (8 - x)}$

Etapa 6.4.15

Combine $\frac{1}{4}$ e $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

Etapa 6.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 6.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$t = \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

Etapa 6.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$t = - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

Etapa 6.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$t = \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

Etapa 7

Substitua $t$ na equação por $y$ para obter a equação em termos de $x$ .

$y = 3 (1 - \sqrt{4 - {(\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})}^{2}})$

Etapa 8

Simplifique $3 (1 - \sqrt{4 - {(\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})}^{2}})$ .

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Etapa 8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = 3 (1 - \sqrt{2^{2} - {(\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})}^{2}})$

Etapa 8.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2$ e $b = (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})$ .

$y = 3 (1 - \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 - (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

Etapa 8.1.3

Simplifique.

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Etapa 8.1.3.1

Multiplique $- 1$ por cada elemento da matriz.

$y = 3 (1 - \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

Etapa 8.1.3.2

Multiplique $- - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$ .

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Etapa 8.1.3.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = 3 (1 - \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, 1 (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})))})$

Etapa 8.1.3.2.2

Multiplique $\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$ por $1$ .

$y = 3 (1 - \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

Etapa 8.2

Simplifique multiplicando.

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Etapa 8.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = 3 \cdot 1 + 3 (- \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

Etapa 8.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.2.2.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$y = 3 + 3 (- \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

Etapa 8.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Etapa 8.2.2.3

Reordene $8$ e $x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Etapa 8.2.2.4

Reordene $8$ e $- x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Etapa 8.2.2.5

Reordene $8$ e $x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Etapa 8.2.2.6

Reordene $8$ e $- x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Etapa 8.2.2.7

Reordene $8$ e $x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(x + 8) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Etapa 8.2.2.8

Reordene $8$ e $- x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Etapa 8.2.2.9

Reordene $8$ e $x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, \frac{\sqrt{(x + 8) (8 - x)}}{4}))}$

Etapa 8.2.2.10

Reordene $8$ e $- x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}))}$