Pré-cálculo Exemplos

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{21} y = \frac{221}{2}$ , $x - \frac{1}{2} y = - 84$

Etapa 1

Represente o sistema de equações em formato de matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{221}{2} \\ - 84 \end{array}]$

Etapa 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Write $[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array} |$

Etapa 2.2

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{21}$

Etapa 2.3

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2} - \frac{1}{21}$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{1}{4} - \frac{1}{21}$

Etapa 2.3.2

Para escrever $- \frac{1}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{21}{21}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{21}{21} - \frac{1}{21}$

Etapa 2.3.3

Para escrever $- \frac{1}{21}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{21}{21} - \frac{1}{21} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 2.3.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $84$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{21}{21}$ .

$- \frac{21}{4 \cdot 21} - \frac{1}{21} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 2.3.4.2

Multiplique $4$ por $21$ .

$- \frac{21}{84} - \frac{1}{21} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 2.3.4.3

Multiplique $\frac{1}{21}$ por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{21}{84} - \frac{4}{21 \cdot 4}$

Etapa 2.3.4.4

Multiplique $21$ por $4$ .

$- \frac{21}{84} - \frac{4}{84}$

Etapa 2.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 21 - 4}{84}$

Etapa 2.3.6

Subtraia $4$ de $- 21$ .

$\frac{- 25}{84}$

Etapa 2.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{25}{84}$

$D = - \frac{25}{84}$

Etapa 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Etapa 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} \frac{221}{2} \\ - 84 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} \frac{221}{2} & \frac{1}{21} \\ - 84 & - \frac{1}{2} \end{array} |$

Etapa 4.2

Find the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{221}{2} (- \frac{1}{2}) - (- 84 (\frac{1}{21}))$

Etapa 4.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Multiplique $\frac{221}{2} (- \frac{1}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1.1

Multiplique $\frac{221}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{221}{2 \cdot 2} - (- 84 (\frac{1}{21}))$

Etapa 4.2.2.1.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{221}{4} - (- 84 (\frac{1}{21}))$

Etapa 4.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $21$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.2.1

Fatore $21$ de $- 84$ .

$- \frac{221}{4} - (21 (- 4) \frac{1}{21})$

Etapa 4.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{221}{4} - (21 \cdot - 4 \frac{1}{21})$

Etapa 4.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{221}{4} - - 4$

Etapa 4.2.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$- \frac{221}{4} + 4$

Etapa 4.2.2.2

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{221}{4} + 4 \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 4.2.2.3

Combine $4$ e $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{221}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}$

Etapa 4.2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 221 + 4 \cdot 4}{4}$

Etapa 4.2.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.5.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{- 221 + 16}{4}$

Etapa 4.2.2.5.2

Some $- 221$ e $16$ .

$\frac{- 205}{4}$

Etapa 4.2.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{205}{4}$

$D_{x} = - \frac{205}{4}$

Etapa 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Etapa 4.4

Substitute $- \frac{25}{84}$ for $D$ and $- \frac{205}{4}$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- \frac{205}{4}}{- \frac{25}{84}}$

Etapa 4.5

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{\frac{205}{4}}{\frac{25}{84}}$

Etapa 4.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{205}{4} \cdot \frac{84}{25}$

Etapa 4.7

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.1

Fatore $5$ de $205$ .

$x = \frac{5 (41)}{4} \cdot \frac{84}{25}$

Etapa 4.7.2

Fatore $5$ de $25$ .

$x = \frac{5 \cdot 41}{4} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

Etapa 4.7.3

Cancele o fator comum.

$x = \frac{5 \cdot 41}{4} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

Etapa 4.7.4

Reescreva a expressão.

$x = \frac{41}{4} \cdot \frac{84}{5}$

Etapa 4.8

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1

Fatore $4$ de $84$ .

$x = \frac{41}{4} \cdot \frac{4 (21)}{5}$

Etapa 4.8.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{41}{4} \cdot \frac{4 \cdot 21}{5}$

Etapa 4.8.3

Reescreva a expressão.

$x = 41 (\frac{21}{5})$

Etapa 4.9

Combine $41$ e $\frac{21}{5}$ .

$x = \frac{41 \cdot 21}{5}$

Etapa 4.10

Multiplique $41$ por $21$ .

$x = \frac{861}{5}$

Etapa 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} \frac{221}{2} \\ - 84 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{221}{2} \\ 1 & - 84 \end{array} |$

Etapa 5.2

Find the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 84 - \frac{221}{2}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Fatore $2$ de $- 84$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (- 42)) - \frac{221}{2}$

Etapa 5.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 42) - \frac{221}{2}$

Etapa 5.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 42 - \frac{221}{2}$

Etapa 5.2.2.2

Para escrever $- 42$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- 42 \cdot \frac{2}{2} - \frac{221}{2}$

Etapa 5.2.2.3

Combine $- 42$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 42 \cdot 2}{2} - \frac{221}{2}$

Etapa 5.2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 42 \cdot 2 - 221}{2}$

Etapa 5.2.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.5.1

Multiplique $- 42$ por $2$ .

$\frac{- 84 - 221}{2}$

Etapa 5.2.2.5.2

Subtraia $221$ de $- 84$ .

$\frac{- 305}{2}$

Etapa 5.2.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{305}{2}$

$D_{y} = - \frac{305}{2}$

Etapa 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Etapa 5.4

Substitute $- \frac{25}{84}$ for $D$ and $- \frac{305}{2}$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- \frac{305}{2}}{- \frac{25}{84}}$

Etapa 5.5

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y = \frac{\frac{305}{2}}{\frac{25}{84}}$

Etapa 5.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{305}{2} \cdot \frac{84}{25}$

Etapa 5.7

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1

Fatore $5$ de $305$ .

$y = \frac{5 (61)}{2} \cdot \frac{84}{25}$

Etapa 5.7.2

Fatore $5$ de $25$ .

$y = \frac{5 \cdot 61}{2} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

Etapa 5.7.3

Cancele o fator comum.

$y = \frac{5 \cdot 61}{2} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

Etapa 5.7.4

Reescreva a expressão.

$y = \frac{61}{2} \cdot \frac{84}{5}$

Etapa 5.8

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.1

Fatore $2$ de $84$ .

$y = \frac{61}{2} \cdot \frac{2 (42)}{5}$

Etapa 5.8.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{61}{2} \cdot \frac{2 \cdot 42}{5}$

Etapa 5.8.3

Reescreva a expressão.

$y = 61 (\frac{42}{5})$

Etapa 5.9

Combine $61$ e $\frac{42}{5}$ .

$y = \frac{61 \cdot 42}{5}$

Etapa 5.10

Multiplique $61$ por $42$ .

$y = \frac{2562}{5}$

Etapa 6

Liste a solução para o sistema de equações.

$x = \frac{861}{5}$

$y = \frac{2562}{5}$