Pré-cálculo Exemplos

$2 x - 5 y = - 2$ , $- \frac{1}{4} x + 2 y = 7$

Etapa 1

Represente o sistema de equações em formato de matriz.

$[\begin{array}{c} 2 & - 5 \\ - \frac{1}{4} & 2 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 \\ 7 \end{array}]$

Etapa 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 2 & - 5 \\ - \frac{1}{4} & 2 \end{array}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Write $[\begin{array}{c} 2 & - 5 \\ - \frac{1}{4} & 2 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 2 & - 5 \\ - \frac{1}{4} & 2 \end{array} |$

Etapa 2.2

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot 2 - (- \frac{1}{4} \cdot - 5)$

Etapa 2.3

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 - (- \frac{1}{4} \cdot - 5)$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $- \frac{1}{4} \cdot - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$4 - (5 (\frac{1}{4}))$

Etapa 2.3.1.2.2

Combine $5$ e $\frac{1}{4}$ .

$4 - \frac{5}{4}$

Etapa 2.3.2

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{5}{4}$

Etapa 2.3.3

Combine $4$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{5}{4}$

Etapa 2.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 \cdot 4 - 5}{4}$

Etapa 2.3.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{16 - 5}{4}$

Etapa 2.3.5.2

Subtraia $5$ de $16$ .

$\frac{11}{4}$

$D = \frac{11}{4}$

Etapa 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Etapa 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 2 \\ 7 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 2 & - 5 \\ 7 & 2 \end{array} |$

Etapa 4.2

Find the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 2 \cdot 2 - 7 \cdot - 5$

Etapa 4.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$- 4 - 7 \cdot - 5$

Etapa 4.2.2.1.2

Multiplique $- 7$ por $- 5$ .

$- 4 + 35$

Etapa 4.2.2.2

Some $- 4$ e $35$ .

$31$

$D_{x} = 31$

Etapa 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Etapa 4.4

Substitute $\frac{11}{4}$ for $D$ and $31$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{31}{\frac{11}{4}}$

Etapa 4.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = 31 (\frac{4}{11})$

Etapa 4.6

Multiplique $31 (\frac{4}{11})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Combine $31$ e $\frac{4}{11}$ .

$x = \frac{31 \cdot 4}{11}$

Etapa 4.6.2

Multiplique $31$ por $4$ .

$x = \frac{124}{11}$

Etapa 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 2 \\ 7 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 2 & - 2 \\ - \frac{1}{4} & 7 \end{array} |$

Etapa 5.2

Find the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot 7 - (- \frac{1}{4} \cdot - 2)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Multiplique $2$ por $7$ .

$14 - (- \frac{1}{4} \cdot - 2)$

Etapa 5.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{4}$ para o numerador.

$14 - (\frac{- 1}{4} \cdot - 2)$

Etapa 5.2.2.1.2.2

Fatore $2$ de $4$ .

$14 - (\frac{- 1}{2 (2)} \cdot - 2)$

Etapa 5.2.2.1.2.3

Fatore $2$ de $- 2$ .

$14 - (\frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1))$

Etapa 5.2.2.1.2.4

Cancele o fator comum.

$14 - (\frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1))$

Etapa 5.2.2.1.2.5

Reescreva a expressão.

$14 - (\frac{- 1}{2} \cdot - 1)$

Etapa 5.2.2.1.3

Combine $\frac{- 1}{2}$ e $- 1$ .

$14 - \frac{- - 1}{2}$

Etapa 5.2.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$14 - \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.2.2

Para escrever $14$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$14 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.2.3

Combine $14$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{14 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{14 \cdot 2 - 1}{2}$

Etapa 5.2.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.5.1

Multiplique $14$ por $2$ .

$\frac{28 - 1}{2}$

Etapa 5.2.2.5.2

Subtraia $1$ de $28$ .

$\frac{27}{2}$

$D_{y} = \frac{27}{2}$

Etapa 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Etapa 5.4

Substitute $\frac{11}{4}$ for $D$ and $\frac{27}{2}$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{\frac{27}{2}}{\frac{11}{4}}$

Etapa 5.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{27}{2} \cdot \frac{4}{11}$

Etapa 5.6

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Fatore $2$ de $4$ .

$y = \frac{27}{2} \cdot \frac{2 (2)}{11}$

Etapa 5.6.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{27}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{11}$

Etapa 5.6.3

Reescreva a expressão.

$y = 27 (\frac{2}{11})$

Etapa 5.7

Combine $27$ e $\frac{2}{11}$ .

$y = \frac{27 \cdot 2}{11}$

Etapa 5.8

Multiplique $27$ por $2$ .

$y = \frac{54}{11}$

Etapa 6

Liste a solução para o sistema de equações.

$x = \frac{124}{11}$

$y = \frac{54}{11}$