Pré-cálculo Exemplos

$x + y + z = 8$ , $x - y + z = - 2$ , $2 x + 0 + 2 = 9$

Step 1

Some $2 x$ e $0$ .

$x + y + z = 8, x - y + z = - 2, 2 x + 2 = 9$

Step 2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x + y + z = 8, x - y + z = - 2, 2 x = 9 - 2$

Step 3

Subtraia $2$ de $9$ .

$x + y + z = 8, x - y + z = - 2, 2 x = 7$

Step 4

Represente o sistema de equações em formato de matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ - 2 \\ 7 \end{array}]$

Step 5

Encontre o determinante de $[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Estabeleça o determinante, desmembrando-o em componentes menores.

$D = - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D = - 1 (1 \cdot 0 - 2 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $0$ por $1$ .

$D = - 1 (0 - 2 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$D = - 1 (0 - 2) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Subtraia $2$ de $0$ .

$D = - 1 \cdot - 2 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$D = 2 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D = 2 - 1 (1 \cdot 0 - 2 \cdot 1) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $0$ por $1$ .

$D = 2 - 1 (0 - 2 \cdot 1) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$D = 2 - 1 (0 - 2) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Subtraia $2$ de $0$ .

$D = 2 - 1 \cdot - 2 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$D = 2 + 2 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D = 2 + 2 + 0 (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1)$

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $1$ por $1$ .

$D = 2 + 2 + 0 (1 - 1 \cdot 1)$

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$D = 2 + 2 + 0 (1 - 1)$

Subtraia $1$ de $1$ .

$D = 2 + 2 + 0 \cdot 0$

Multiplique $0$ por $0$ .

$D = 2 + 2 + 0$

Some $2$ e $2$ .

$D = 4 + 0$

Some $4$ e $0$ .

$D = 4$

Step 6

Encontre o determinante de $[\begin{array}{c} 8 & 1 & 1 \\ - 2 & - 1 & 1 \\ 7 & 0 & 0 \end{array}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Estabeleça o determinante, desmembrando-o em componentes menores.

$D_{x} = - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D_{x} = - 1 (- 2 \cdot 0 - 7 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$D_{x} = - 1 (0 - 7 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$D_{x} = - 1 (0 - 7) - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Subtraia $7$ de $0$ .

$D_{x} = - 1 \cdot - 7 - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Multiplique $- 1$ por $- 7$ .

$D_{x} = 7 - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D_{x} = 7 - 1 (8 \cdot 0 - 7 \cdot 1) + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $8$ por $0$ .

$D_{x} = 7 - 1 (0 - 7 \cdot 1) + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$D_{x} = 7 - 1 (0 - 7) + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Subtraia $7$ de $0$ .

$D_{x} = 7 - 1 \cdot - 7 + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Multiplique $- 1$ por $- 7$ .

$D_{x} = 7 + 7 + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D_{x} = 7 + 7 + 0 (8 \cdot 1 - (- 2 \cdot 1))$

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $8$ por $1$ .

$D_{x} = 7 + 7 + 0 (8 - (- 2 \cdot 1))$

Multiplique $- (- 2 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$D_{x} = 7 + 7 + 0 (8 + 2)$

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$D_{x} = 7 + 7 + 0 (8 + 2)$

Some $8$ e $2$ .

$D_{x} = 7 + 7 + 0 \cdot 10$

Multiplique $0$ por $10$ .

$D_{x} = 7 + 7 + 0$

Some $7$ e $7$ .

$D_{x} = 14 + 0$

Some $14$ e $0$ .

$D_{x} = 14$

Step 7

Encontre o determinante de $[\begin{array}{c} 1 & 8 & 1 \\ 1 & - 2 & 1 \\ 2 & 7 & 0 \end{array}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Estabeleça o determinante, desmembrando-o em componentes menores.

$D_{y} = 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & 7 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & 7 \end{array} |$ por $1$ .

$D_{y} = | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & 7 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D_{y} = 1 \cdot 7 - 2 \cdot - 2 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $7$ por $1$ .

$D_{y} = 7 - 2 \cdot - 2 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$D_{y} = 7 + 4 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Some $7$ e $4$ .

$D_{y} = 11 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D_{y} = 11 - 1 (1 \cdot 7 - 2 \cdot 8) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $7$ por $1$ .

$D_{y} = 11 - 1 (7 - 2 \cdot 8) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Multiplique $- 2$ por $8$ .

$D_{y} = 11 - 1 (7 - 16) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Subtraia $16$ de $7$ .

$D_{y} = 11 - 1 \cdot - 9 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$D_{y} = 11 + 9 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D_{y} = 11 + 9 + 0 (1 \cdot - 2 - 1 \cdot 8)$

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$D_{y} = 11 + 9 + 0 (- 2 - 1 \cdot 8)$

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$D_{y} = 11 + 9 + 0 (- 2 - 8)$

Subtraia $8$ de $- 2$ .

$D_{y} = 11 + 9 + 0 \cdot - 10$

Multiplique $0$ por $- 10$ .

$D_{y} = 11 + 9 + 0$

Some $11$ e $9$ .

$D_{y} = 20 + 0$

Some $20$ e $0$ .

$D_{y} = 20$

Step 8

Encontre o determinante de $[\begin{array}{c} 1 & 1 & 8 \\ 1 & - 1 & - 2 \\ 2 & 0 & 7 \end{array}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Estabeleça o determinante, desmembrando-o em componentes menores.

$D_{z} = - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & 7 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D_{z} = - 1 (1 \cdot 7 - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $7$ por $1$ .

$D_{z} = - 1 (7 - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$D_{z} = - 1 (7 + 4) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Some $7$ e $4$ .

$D_{z} = - 1 \cdot 11 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Multiplique $- 1$ por $11$ .

$D_{z} = - 11 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D_{z} = - 11 - 1 (1 \cdot 7 - 2 \cdot 8) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $7$ por $1$ .

$D_{z} = - 11 - 1 (7 - 2 \cdot 8) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Multiplique $- 2$ por $8$ .

$D_{z} = - 11 - 1 (7 - 16) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Subtraia $16$ de $7$ .

$D_{z} = - 11 - 1 \cdot - 9 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$D_{z} = - 11 + 9 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D_{z} = - 11 + 9 + 0 (1 \cdot - 2 - 1 \cdot 8)$

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$D_{z} = - 11 + 9 + 0 (- 2 - 1 \cdot 8)$

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$D_{z} = - 11 + 9 + 0 (- 2 - 8)$

Subtraia $8$ de $- 2$ .

$D_{z} = - 11 + 9 + 0 \cdot - 10$

Multiplique $0$ por $- 10$ .

$D_{z} = - 11 + 9 + 0$

Some $- 11$ e $9$ .

$D_{z} = - 2 + 0$

Some $- 2$ e $0$ .

$D_{z} = - 2$

Step 9

Encontre o valor de $x$ pela regra de Cramer, segundo a qual $x = \frac{D_{x}}{D}$ . Neste caso, $x = \frac{14}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Remova os parênteses.

$x = \frac{14}{4}$

Cancele o fator comum de $14$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2$ de $14$ .

$x = \frac{2 (7)}{4}$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2}$

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2}$

Reescreva a expressão.

$x = \frac{7}{2}$

Step 10

Encontre o valor de $y$ pela regra de Cramer, segundo a qual $y = \frac{D_{y}}{D}$ . Neste caso, $y = \frac{20}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Remova os parênteses.

$y = \frac{20}{4}$

Divida $20$ por $4$ .

$y = 5$

Step 11

Encontre o valor de $z$ pela regra de Cramer, segundo a qual $z = \frac{D_{z}}{D}$ . Neste caso, $z = \frac{- 2}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Remova os parênteses.

$z = \frac{- 2}{4}$

Simplifique $\frac{- 2}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $- 2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2$ de $- 2$ .

$z = \frac{2 (- 1)}{4}$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2$ de $4$ .

$z = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Cancele o fator comum.

$z = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Reescreva a expressão.

$z = \frac{- 1}{2}$

Mova o número negativo para a frente da fração.

$z = - \frac{1}{2}$

Step 12

A solução para o sistema de equações usando a regra de Cramer.

$x = \frac{7}{2}, y = 5, z = - \frac{1}{2}$