Pré-cálculo Exemplos

$16 (y - 2^{2}) - 25 {(x - 4)}^{2} = 400$

Etapa 1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Isole $y$ no lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$16 (y - 1 \cdot 4) - 25 {(x - 4)}^{2} = 400$

Etapa 1.1.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$16 (y - 4) - 25 {(x - 4)}^{2} = 400$

Etapa 1.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$16 y + 16 \cdot - 4 - 25 {(x - 4)}^{2} = 400$

Etapa 1.1.1.3

Multiplique $16$ por $- 4$ .

$16 y - 64 - 25 {(x - 4)}^{2} = 400$

Etapa 1.1.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Some $64$ aos dois lados da equação.

$16 y - 25 {(x - 4)}^{2} = 400 + 64$

Etapa 1.1.2.2

Some $25 {(x - 4)}^{2}$ aos dois lados da equação.

$16 y = 400 + 64 + 25 {(x - 4)}^{2}$

Etapa 1.1.2.3

Some $400$ e $64$ .

$16 y = 464 + 25 {(x - 4)}^{2}$

Etapa 1.1.3

Divida cada termo em $16 y = 464 + 25 {(x - 4)}^{2}$ por $16$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Divida cada termo em $16 y = 464 + 25 {(x - 4)}^{2}$ por $16$ .

$\frac{16 y}{16} = \frac{464}{16} + \frac{25 {(x - 4)}^{2}}{16}$

Etapa 1.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{16 y}{16} = \frac{464}{16} + \frac{25 {(x - 4)}^{2}}{16}$

Etapa 1.1.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{464}{16} + \frac{25 {(x - 4)}^{2}}{16}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1

Divida $464$ por $16$ .

$y = 29 + \frac{25 {(x - 4)}^{2}}{16}$

Etapa 1.1.4

Reordene os termos.

$y = 29 + \frac{25}{16} \cdot {(x - 4)}^{2}$

Etapa 1.1.5

Reordene os termos.

$y = \frac{25}{16} \cdot {(x - 4)}^{2} + 29$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $\frac{25}{16} \cdot {(x - 4)}^{2} + 29$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1.1

Reescreva ${(x - 4)}^{2}$ como $(x - 4) (x - 4)$ .

$\frac{25}{16} \cdot ((x - 4) (x - 4)) + 29$

Etapa 1.2.1.1.2

Expanda $(x - 4) (x - 4)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{25}{16} \cdot (x (x - 4) - 4 (x - 4)) + 29$

Etapa 1.2.1.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{25}{16} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) + 29$

Etapa 1.2.1.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{25}{16} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) + 29$

Etapa 1.2.1.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{25}{16} \cdot (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) + 29$

Etapa 1.2.1.1.3.1.2

Mova $- 4$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{25}{16} \cdot (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) + 29$

Etapa 1.2.1.1.3.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$\frac{25}{16} \cdot (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) + 29$

Etapa 1.2.1.1.3.2

Subtraia $4 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{25}{16} \cdot (x^{2} - 8 x + 16) + 29$

Etapa 1.2.1.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{25}{16} x^{2} + \frac{25}{16} (- 8 x) + \frac{25}{16} \cdot 16 + 29$

Etapa 1.2.1.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1.5.1

Combine $\frac{25}{16}$ e $x^{2}$ .

$\frac{25 x^{2}}{16} + \frac{25}{16} (- 8 x) + \frac{25}{16} \cdot 16 + 29$

Etapa 1.2.1.1.5.2

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1.5.2.1

Fatore $8$ de $16$ .

$\frac{25 x^{2}}{16} + \frac{25}{8 (2)} (- 8 x) + \frac{25}{16} \cdot 16 + 29$

Etapa 1.2.1.1.5.2.2

Fatore $8$ de $- 8 x$ .

$\frac{25 x^{2}}{16} + \frac{25}{8 (2)} (8 (- x)) + \frac{25}{16} \cdot 16 + 29$

Etapa 1.2.1.1.5.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{25 x^{2}}{16} + \frac{25}{8 \cdot 2} (8 (- x)) + \frac{25}{16} \cdot 16 + 29$

Etapa 1.2.1.1.5.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{25 x^{2}}{16} + \frac{25}{2} (- x) + \frac{25}{16} \cdot 16 + 29$

Etapa 1.2.1.1.5.3

Combine $\frac{25}{2}$ e $x$ .

$\frac{25 x^{2}}{16} - \frac{25 x}{2} + \frac{25}{16} \cdot 16 + 29$

Etapa 1.2.1.1.5.4

Cancele o fator comum de $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{25 x^{2}}{16} - \frac{25 x}{2} + \frac{25}{16} \cdot 16 + 29$

Etapa 1.2.1.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{25 x^{2}}{16} - \frac{25 x}{2} + 25 + 29$

Etapa 1.2.1.2

Some $25$ e $29$ .

$\frac{25 x^{2}}{16} - \frac{25 x}{2} + 54$

Etapa 1.2.2

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{25}{16}$

$b = - \frac{25}{2}$

$c = 54$

Etapa 1.2.3

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{25}{2}}{2 (\frac{25}{16})}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = - \frac{25}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{25}{16})}$

Etapa 1.2.4.2.2

Combine $2$ e $\frac{25}{16}$ .

$d = - \frac{25}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 25}{16}}$

Etapa 1.2.4.2.3

Multiplique $2$ por $25$ .

$d = - \frac{25}{2} \cdot \frac{1}{\frac{50}{16}}$

Etapa 1.2.4.2.4

Cancele o fator comum de $50$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.4.1

Fatore $2$ de $50$ .

$d = - \frac{25}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (25)}{16}}$

Etapa 1.2.4.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.4.2.1

Fatore $2$ de $16$ .

$d = - \frac{25}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 8}}$

Etapa 1.2.4.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$d = - \frac{25}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 8}}$

Etapa 1.2.4.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$d = - \frac{25}{2} \cdot \frac{1}{\frac{25}{8}}$

Etapa 1.2.4.2.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = - \frac{25}{2} (1 (\frac{8}{25}))$

Etapa 1.2.4.2.6

Multiplique $\frac{8}{25}$ por $1$ .

$d = - \frac{25}{2} \cdot \frac{8}{25}$

Etapa 1.2.4.2.7

Cancele o fator comum de $25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.7.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{25}{2}$ para o numerador.

$d = \frac{- 25}{2} \cdot \frac{8}{25}$

Etapa 1.2.4.2.7.2

Fatore $25$ de $- 25$ .

$d = \frac{25 (- 1)}{2} \cdot \frac{8}{25}$

Etapa 1.2.4.2.7.3

Cancele o fator comum.

$d = \frac{25 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{8}{25}$

Etapa 1.2.4.2.7.4

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 1}{2} \cdot 8$

Etapa 1.2.4.2.8

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.8.1

Fatore $2$ de $8$ .

$d = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (4))$

Etapa 1.2.4.2.8.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 4)$

Etapa 1.2.4.2.8.3

Reescreva a expressão.

$d = - 1 \cdot 4$

Etapa 1.2.4.2.9

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$d = - 4$

Etapa 1.2.5

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 54 - \frac{{(- \frac{25}{2})}^{2}}{4 (\frac{25}{16})}$

Etapa 1.2.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{25}{2}$ .

$e = 54 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{25}{2})}^{2}}{4 (\frac{25}{16})}$

Etapa 1.2.5.2.1.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$e = 54 - \frac{1 {(\frac{25}{2})}^{2}}{4 (\frac{25}{16})}$

Etapa 1.2.5.2.1.1.3

Aplique a regra do produto a $\frac{25}{2}$ .

$e = 54 - \frac{1 \frac{25^{2}}{2^{2}}}{4 (\frac{25}{16})}$

Etapa 1.2.5.2.1.1.4

Eleve $25$ à potência de $2$ .

$e = 54 - \frac{1 \frac{625}{2^{2}}}{4 (\frac{25}{16})}$

Etapa 1.2.5.2.1.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$e = 54 - \frac{1 (\frac{625}{4})}{4 (\frac{25}{16})}$

Etapa 1.2.5.2.1.1.6

Multiplique $\frac{625}{4}$ por $1$ .

$e = 54 - \frac{\frac{625}{4}}{4 (\frac{25}{16})}$

Etapa 1.2.5.2.1.2

Combine $4$ e $\frac{25}{16}$ .

$e = 54 - \frac{\frac{625}{4}}{\frac{4 \cdot 25}{16}}$

Etapa 1.2.5.2.1.3

Multiplique $4$ por $25$ .

$e = 54 - \frac{\frac{625}{4}}{\frac{100}{16}}$

Etapa 1.2.5.2.1.4

Cancele o fator comum de $100$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1.4.1

Fatore $4$ de $100$ .

$e = 54 - \frac{\frac{625}{4}}{\frac{4 (25)}{16}}$

Etapa 1.2.5.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1.4.2.1

Fatore $4$ de $16$ .

$e = 54 - \frac{\frac{625}{4}}{\frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 4}}$

Etapa 1.2.5.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$e = 54 - \frac{\frac{625}{4}}{\frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 4}}$

Etapa 1.2.5.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$e = 54 - \frac{\frac{625}{4}}{\frac{25}{4}}$

Etapa 1.2.5.2.1.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e = 54 - (\frac{625}{4} \cdot \frac{4}{25})$

Etapa 1.2.5.2.1.6

Cancele o fator comum de $25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1.6.1

Fatore $25$ de $625$ .

$e = 54 - (\frac{25 (25)}{4} \cdot \frac{4}{25})$

Etapa 1.2.5.2.1.6.2

Cancele o fator comum.

$e = 54 - (\frac{25 \cdot 25}{4} \cdot \frac{4}{25})$

Etapa 1.2.5.2.1.6.3

Reescreva a expressão.

$e = 54 - (\frac{25}{4} \cdot 4)$

Etapa 1.2.5.2.1.7

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1.7.1

Cancele o fator comum.

$e = 54 - (\frac{25}{4} \cdot 4)$

Etapa 1.2.5.2.1.7.2

Reescreva a expressão.

$e = 54 - 1 \cdot 25$

Etapa 1.2.5.2.1.8

Multiplique $- 1$ por $25$ .

$e = 54 - 25$

Etapa 1.2.5.2.2

Subtraia $25$ de $54$ .

$e = 29$

Etapa 1.2.6

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $\frac{25}{16} {(x - 4)}^{2} + 29$ .

$\frac{25}{16} {(x - 4)}^{2} + 29$

Etapa 1.3

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = \frac{25}{16} \cdot {(x - 4)}^{2} + 29$

Etapa 2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{25}{16}$

$h = 4$

$k = 29$

Etapa 3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para cima.

Abre para cima

Etapa 4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(4, 29)$

Etapa 5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{25}{16}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Combine $4$ e $\frac{25}{16}$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 25}{16}}$

Etapa 5.3.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Multiplique $4$ por $25$ .

$\frac{1}{\frac{100}{16}}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $100$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Fatore $4$ de $100$ .

$\frac{1}{\frac{4 (25)}{16}}$

Etapa 5.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.2.1

Fatore $4$ de $16$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 4}}$

Etapa 5.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 4}}$

Etapa 5.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\frac{25}{4}}$

Etapa 5.3.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$1 (\frac{4}{25})$

Etapa 5.3.4

Multiplique $\frac{4}{25}$ por $1$ .

$\frac{4}{25}$

Etapa 6

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(4, \frac{729}{25})$

Etapa 7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = 4$

Etapa 8

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = \frac{721}{25}$

Etapa 9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para cima

Vértice: $(4, 29)$

Foco: $(4, \frac{729}{25})$

Eixo de simetria: $x = 4$

Diretriz: $y = \frac{721}{25}$

Etapa 10