Pré-cálculo Exemplos

$9 x^{2} + 72 x - 4 y^{2} - 32 y + 44 = 0$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da hipérbole.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $44$ dos dois lados da equação.

$9 x^{2} + 72 x - 4 y^{2} - 32 y = - 44$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $9 x^{2} + 72 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 9$

$b = 72$

$c = 0$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{72}{2 \cdot 9}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $72$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Fatore $2$ de $72$ .

$d = \frac{2 \cdot 36}{2 \cdot 9}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot 36}{2 (9)}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 36}{2 \cdot 9}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{36}{9}$

Etapa 1.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $36$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1

Fatore $9$ de $36$ .

$d = \frac{9 \cdot 4}{9}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.2.1

Fatore $9$ de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot 4}{9 (1)}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{9 \cdot 4}{9 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{4}{1}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$d = 4$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{72^{2}}{4 \cdot 9}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Eleve $72$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{5184}{4 \cdot 9}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $9$ .

$e = 0 - \frac{5184}{36}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Divida $5184$ por $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 144$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $144$ .

$e = 0 - 144$

Etapa 1.2.4.2.2

Subtraia $144$ de $0$ .

$e = - 144$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $9 {(x + 4)}^{2} - 144$ .

$9 {(x + 4)}^{2} - 144$

Etapa 1.3

Substitua $9 {(x + 4)}^{2} - 144$ por $9 x^{2} + 72 x$ na equação $9 x^{2} + 72 x - 4 y^{2} - 32 y = - 44$ .

$9 {(x + 4)}^{2} - 144 - 4 y^{2} - 32 y = - 44$

Etapa 1.4

Mova $- 144$ para o lado direito da equação, somando $144$ aos dois lados.

$9 {(x + 4)}^{2} - 4 y^{2} - 32 y = - 44 + 144$

Etapa 1.5

Complete o quadrado de $- 4 y^{2} - 32 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 4$

$b = - 32$

$c = 0$

Etapa 1.5.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.5.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 32}{2 \cdot - 4}$

Etapa 1.5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 32$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 32$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot - 4}$

Etapa 1.5.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 (- 4)}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot - 4}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 16}{- 4}$

Etapa 1.5.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 16$ e $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.2.1

Fatore $- 4$ de $- 16$ .

$d = \frac{- 4 (4)}{- 4}$

Etapa 1.5.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.2.2.1

Fatore $- 4$ de $- 4$ .

$d = \frac{- 4 \cdot 4}{- 4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{- 4 \cdot 4}{- 4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{4}{1}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$d = 4$

Etapa 1.5.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 32)}^{2}}{4 \cdot - 4}$

Etapa 1.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.1

Eleve $- 32$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot - 4}$

Etapa 1.5.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$e = 0 - \frac{1024}{- 16}$

Etapa 1.5.4.2.1.3

Divida $1024$ por $- 16$ .

$e = 0 - - 64$

Etapa 1.5.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 64$ .

$e = 0 + 64$

Etapa 1.5.4.2.2

Some $0$ e $64$ .

$e = 64$

Etapa 1.5.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- 4 {(y + 4)}^{2} + 64$ .

$- 4 {(y + 4)}^{2} + 64$

Etapa 1.6

Substitua $- 4 {(y + 4)}^{2} + 64$ por $- 4 y^{2} - 32 y$ na equação $9 x^{2} + 72 x - 4 y^{2} - 32 y = - 44$ .

$9 {(x + 4)}^{2} - 4 {(y + 4)}^{2} + 64 = - 44 + 144$

Etapa 1.7

Mova $64$ para o lado direito da equação, somando $64$ aos dois lados.

$9 {(x + 4)}^{2} - 4 {(y + 4)}^{2} = - 44 + 144 - 64$

Etapa 1.8

Simplifique $- 44 + 144 - 64$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Some $- 44$ e $144$ .

$9 {(x + 4)}^{2} - 4 {(y + 4)}^{2} = 100 - 64$

Etapa 1.8.2

Subtraia $64$ de $100$ .

$9 {(x + 4)}^{2} - 4 {(y + 4)}^{2} = 36$

Etapa 1.9

Divida cada termo por $36$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{9 {(x + 4)}^{2}}{36} - \frac{4 {(y + 4)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Etapa 1.10

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{4} - \frac{{(y + 4)}^{2}}{9} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = 2$

$b = 3$

$k = - 4$

$h = - 4$

Etapa 4

O centro de uma hipérbole segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(- 4, - 4)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{4 + {(3)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{4 + 9}$

Etapa 5.3.3

Some $4$ e $9$ .

$\sqrt{13}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $a$ com $h$ .

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 2, - 4)$

Etapa 6.3

O segundo vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Etapa 6.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 6, - 4)$

Etapa 6.5

Os vértices de uma hipérbole seguem a forma $(h \pm a, k)$ . As hipérboles têm dois vértices.

$(- 2, - 4), (- 6, - 4)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 4 + \sqrt{13}, - 4)$

Etapa 7.3

O segundo foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 4 - \sqrt{13}, - 4)$

Etapa 7.5

O ponto imaginário de uma hipérbole segue a forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . As hipérboles têm dois pontos imaginários.

$(- 4 + \sqrt{13}, - 4), (- 4 - \sqrt{13}, - 4)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(3)}^{2}}}{2}$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 3^{2}}}{2}$

Etapa 8.3.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 9}}{2}$

Etapa 8.3.3

Some $4$ e $9$ .

$\frac{\sqrt{13}}{2}$

Etapa 9

Encontre o parâmetro focal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Encontre o valor do parâmetro focal da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Etapa 9.2

Substitua os valores de $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ na fórmula.

$\frac{3^{2}}{\sqrt{13}}$

Etapa 9.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{9}{\sqrt{13}}$

Etapa 9.3.2

Multiplique $\frac{9}{\sqrt{13}}$ por $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{9}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

Etapa 9.3.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.1

Multiplique $\frac{9}{\sqrt{13}}$ por $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Etapa 9.3.3.2

Eleve $\sqrt{13}$ à potência de $1$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}}$

Etapa 9.3.3.3

Eleve $\sqrt{13}$ à potência de $1$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}}$

Etapa 9.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Etapa 9.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

Etapa 9.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{13}}^{2}$ como $13$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{13}$ como $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 9.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 9.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{1}}$

Etapa 9.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13}$

Etapa 10

As assíntotas seguem a forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , porque esta hipérbole se abre para a esquerda e para a direita.

$y = \pm \frac{3}{2} \cdot (x - (- 4)) - 4$

Etapa 11

Simplifique para encontrar a primeira assíntota.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Remova os parênteses.

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - (- 4)) - 4$

Etapa 11.2

Simplifique $\frac{3}{2} \cdot (x - (- 4)) - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{3}{2} \cdot (x + 4) - 4$

Etapa 11.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot 4 - 4$

Etapa 11.2.1.3

Combine $\frac{3}{2}$ e $x$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot 4 - 4$

Etapa 11.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 (2)) - 4$

Etapa 11.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 4$

Etapa 11.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{3 x}{2} + 3 \cdot 2 - 4$

Etapa 11.2.1.5

Multiplique $3$ por $2$ .

$y = \frac{3 x}{2} + 6 - 4$

Etapa 11.2.2

Subtraia $4$ de $6$ .

$y = \frac{3 x}{2} + 2$

Etapa 12

Simplifique para encontrar a segunda assíntota.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Remova os parênteses.

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - (- 4)) - 4$

Etapa 12.2

Simplifique $- \frac{3}{2} \cdot (x - (- 4)) - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x + 4) - 4$

Etapa 12.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot 4 - 4$

Etapa 12.2.1.3

Combine $x$ e $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot 4 - 4$

Etapa 12.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{2}$ para o numerador.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot 4 - 4$

Etapa 12.2.1.4.2

Fatore $2$ de $4$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (2)) - 4$

Etapa 12.2.1.4.3

Cancele o fator comum.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 4$

Etapa 12.2.1.4.4

Reescreva a expressão.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - 3 \cdot 2 - 4$

Etapa 12.2.1.5

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - 6 - 4$

Etapa 12.2.1.6

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$y = - \frac{3 x}{2} - 6 - 4$

Etapa 12.2.2

Subtraia $4$ de $- 6$ .

$y = - \frac{3 x}{2} - 10$

Etapa 13

Essa hipérbole tem duas assíntotas.

$y = \frac{3 x}{2} + 2, y = - \frac{3 x}{2} - 10$

Etapa 14

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma hipérbole.

Centro: $(- 4, - 4)$

Vértices: $(- 2, - 4), (- 6, - 4)$

Ponto imaginário: $(- 4 + \sqrt{13}, - 4), (- 4 - \sqrt{13}, - 4)$

Excentricidade: $\frac{\sqrt{13}}{2}$

Parâmetro focal: $\frac{9 \sqrt{13}}{13}$

Assíntotas: $y = \frac{3 x}{2} + 2$ , $y = - \frac{3 x}{2} - 10$

Etapa 15