Pré-cálculo Exemplos

$x^{2} - 8 x - 8 y - 16 = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação na forma do vértice.

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Etapa 1.1

Isole $y$ no lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.1.1.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$- 8 x - 8 y - 16 = - x^{2}$

Etapa 1.1.1.2

Some $8 x$ aos dois lados da equação.

$- 8 y - 16 = - x^{2} + 8 x$

Etapa 1.1.1.3

Some $16$ aos dois lados da equação.

$- 8 y = - x^{2} + 8 x + 16$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $- 8 y = - x^{2} + 8 x + 16$ por $- 8$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $- 8 y = - x^{2} + 8 x + 16$ por $- 8$ .

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{- x^{2}}{- 8} + \frac{8 x}{- 8} + \frac{16}{- 8}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{- x^{2}}{- 8} + \frac{8 x}{- 8} + \frac{16}{- 8}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{- 8} + \frac{8 x}{- 8} + \frac{16}{- 8}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{8 x}{- 8} + \frac{16}{- 8}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $8$ e $- 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.2.1

Fatore $8$ de $8 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{8 (x)}{- 8} + \frac{16}{- 8}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{x}{- 1}$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} - 1 \cdot x + \frac{16}{- 8}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Reescreva $- 1 \cdot x$ como $- x$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} - x + \frac{16}{- 8}$

Etapa 1.1.2.3.1.4

Divida $16$ por $- 8$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} - x - 2$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $\frac{x^{2}}{8} - x - 2$ .

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Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{1}{8}$

$b = - 1$

$c = - 2$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 (\frac{1}{8})}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{8}$ .

$d = \frac{- 1}{\frac{2}{8}}$

Etapa 1.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$d = \frac{- 1}{\frac{2 (1)}{8}}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$d = \frac{- 1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{- 1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 1}{\frac{1}{4}}$

Etapa 1.2.3.2.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = - 1 \cdot 4$

Etapa 1.2.3.2.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$d = - 4$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 2 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 (\frac{1}{8})}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$e = - 2 - \frac{1}{4 (\frac{1}{8})}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Combine $4$ e $\frac{1}{8}$ .

$e = - 2 - \frac{1}{\frac{4}{8}}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Cancele o fator comum de $4$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.3.1

Fatore $4$ de $4$ .

$e = - 2 - \frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

Etapa 1.2.4.2.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.3.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$e = - 2 - \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Etapa 1.2.4.2.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$e = - 2 - \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Etapa 1.2.4.2.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$e = - 2 - \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e = - 2 - (1 \cdot 2)$

Etapa 1.2.4.2.1.5

Multiplique $- (1 \cdot 2)$ .

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Etapa 1.2.4.2.1.5.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$e = - 2 - 1 \cdot 2$

Etapa 1.2.4.2.1.5.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$e = - 2 - 2$

Etapa 1.2.4.2.2

Subtraia $2$ de $- 2$ .

$e = - 4$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $\frac{1}{8} {(x - 4)}^{2} - 4$ .

$\frac{1}{8} {(x - 4)}^{2} - 4$

Etapa 1.3

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = \frac{1}{8} \cdot {(x - 4)}^{2} - 4$

Etapa 2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{8}$

$h = 4$

$k = - 4$

Etapa 3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para cima.

Abre para cima

Etapa 4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(4, - 4)$

Etapa 5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{8}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Combine $4$ e $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{8}}$

Etapa 5.3.2

Cancele o fator comum de $4$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Etapa 5.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Etapa 5.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.3.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$1 \cdot 2$

Etapa 5.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 6

Encontre o foco.

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Etapa 6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(4, - 2)$

Etapa 7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = 4$

Etapa 8

Encontre a diretriz.

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Etapa 8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = - 6$

Etapa 9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para cima

Vértice: $(4, - 4)$

Foco: $(4, - 2)$

Eixo de simetria: $x = 4$

Diretriz: $y = - 6$

Etapa 10