Pré-cálculo Exemplos

$36 x^{2} + 9 y^{2} + 48 x - 36 y + 43 = 0$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da elipse.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $43$ dos dois lados da equação.

$36 x^{2} + 9 y^{2} + 48 x - 36 y = - 43$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $36 x^{2} + 48 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 36$

$b = 48$

$c = 0$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{48}{2 \cdot 36}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $48$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Fatore $2$ de $48$ .

$d = \frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 36}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 36$ .

$d = \frac{2 \cdot 24}{2 (36)}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 36}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{24}{36}$

Etapa 1.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $24$ e $36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1

Fatore $12$ de $24$ .

$d = \frac{12 (2)}{36}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.2.1

Fatore $12$ de $36$ .

$d = \frac{12 \cdot 2}{12 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{12 \cdot 2}{12 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{2}{3}$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{48^{2}}{4 \cdot 36}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Eleve $48$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{2304}{4 \cdot 36}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $36$ .

$e = 0 - \frac{2304}{144}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Divida $2304$ por $144$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$e = 0 - 16$

Etapa 1.2.4.2.2

Subtraia $16$ de $0$ .

$e = - 16$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $36 {(x + \frac{2}{3})}^{2} - 16$ .

$36 {(x + \frac{2}{3})}^{2} - 16$

Etapa 1.3

Substitua $36 {(x + \frac{2}{3})}^{2} - 16$ por $36 x^{2} + 48 x$ na equação $36 x^{2} + 9 y^{2} + 48 x - 36 y = - 43$ .

$36 {(x + \frac{2}{3})}^{2} - 16 + 9 y^{2} - 36 y = - 43$

Etapa 1.4

Mova $- 16$ para o lado direito da equação, somando $16$ aos dois lados.

$36 {(x + \frac{2}{3})}^{2} + 9 y^{2} - 36 y = - 43 + 16$

Etapa 1.5

Complete o quadrado de $9 y^{2} - 36 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 9$

$b = - 36$

$c = 0$

Etapa 1.5.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.5.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 36}{2 \cdot 9}$

Etapa 1.5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 36$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 36$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Etapa 1.5.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 (9)}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 18}{9}$

Etapa 1.5.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 18$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.2.1

Fatore $9$ de $- 18$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9}$

Etapa 1.5.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.2.2.1

Fatore $9$ de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 (1)}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 \cdot 1}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 2}{1}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.4

Divida $- 2$ por $1$ .

$d = - 2$

Etapa 1.5.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 36)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Etapa 1.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.1

Eleve $- 36$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{1296}{4 \cdot 9}$

Etapa 1.5.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $9$ .

$e = 0 - \frac{1296}{36}$

Etapa 1.5.4.2.1.3

Divida $1296$ por $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Etapa 1.5.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $36$ .

$e = 0 - 36$

Etapa 1.5.4.2.2

Subtraia $36$ de $0$ .

$e = - 36$

Etapa 1.5.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $9 {(y - 2)}^{2} - 36$ .

$9 {(y - 2)}^{2} - 36$

Etapa 1.6

Substitua $9 {(y - 2)}^{2} - 36$ por $9 y^{2} - 36 y$ na equação $36 x^{2} + 9 y^{2} + 48 x - 36 y = - 43$ .

$36 {(x + \frac{2}{3})}^{2} + 9 {(y - 2)}^{2} - 36 = - 43 + 16$

Etapa 1.7

Mova $- 36$ para o lado direito da equação, somando $36$ aos dois lados.

$36 {(x + \frac{2}{3})}^{2} + 9 {(y - 2)}^{2} = - 43 + 16 + 36$

Etapa 1.8

Simplifique $- 43 + 16 + 36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Some $- 43$ e $16$ .

$36 {(x + \frac{2}{3})}^{2} + 9 {(y - 2)}^{2} = - 27 + 36$

Etapa 1.8.2

Some $- 27$ e $36$ .

$36 {(x + \frac{2}{3})}^{2} + 9 {(y - 2)}^{2} = 9$

Etapa 1.9

Divida cada termo por $9$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{36 {(x + \frac{2}{3})}^{2}}{9} + \frac{9 {(y - 2)}^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

Etapa 1.10

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(x + \frac{2}{3})}^{2}}{\frac{1}{4}} + {(y - 2)}^{2} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = 1$

$b = \frac{1}{2}$

$k = 2$

$h = - \frac{2}{3}$

Etapa 4

O centro de uma elipse segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(- \frac{2}{3}, 2)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 5.3.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}$

Etapa 5.3.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{1}{4}}$

Etapa 5.3.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Etapa 5.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}$

Etapa 5.3.7

Subtraia $1$ de $4$ .

$\sqrt{\frac{3}{4}}$

Etapa 5.3.8

Reescreva $\sqrt{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Etapa 5.3.9

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.9.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 5.3.9.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma elipse pode ser encontrado ao somar $a$ com $k$ .

$(h, k + a)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(- \frac{2}{3}, 2 + 1)$

Etapa 6.3

Simplifique.

$(- \frac{2}{3}, 3)$

Etapa 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Etapa 6.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(- \frac{2}{3}, 2 - (1))$

Etapa 6.6

Simplifique.

$(- \frac{2}{3}, 1)$

Etapa 6.7

As elipses têm dois vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(- \frac{2}{3}, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{2}{3}, 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(- \frac{2}{3}, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{2}{3}, 1)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $k$ .

$(h, k + c)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(- \frac{2}{3}, 2 + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 7.3

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(- \frac{2}{3}, 2 - (\frac{\sqrt{3}}{2}))$

Etapa 7.5

Simplifique.

$(- \frac{2}{3}, 2 - \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 7.6

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(- \frac{2}{3}, 2 + \frac{\sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{2}{3}, 2 - \frac{\sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(- \frac{2}{3}, 2 + \frac{\sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{2}{3}, 2 - \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}}{1}$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Divida $\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$ por $1$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 8.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 8.3.3

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 8.3.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}$

Etapa 8.3.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{1}{4}}$

Etapa 8.3.6

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Etapa 8.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}$

Etapa 8.3.8

Subtraia $1$ de $4$ .

$\sqrt{\frac{3}{4}}$

Etapa 8.3.9

Reescreva $\sqrt{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Etapa 8.3.10

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.10.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 8.3.10.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 9

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma elipse.

Centro: $(- \frac{2}{3}, 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(- \frac{2}{3}, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{2}{3}, 1)$

${Focus}_{1}$ : $(- \frac{2}{3}, 2 + \frac{\sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{2}{3}, 2 - \frac{\sqrt{3}}{2})$

Excentricidade: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 10