Pré-cálculo Exemplos

$34 = 2 x^{2} + 20 x + 4 y^{2} - 16 y$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da elipse.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Subtraia $2 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$34 - 2 x^{2} = 20 x + 4 y^{2} - 16 y$

Etapa 1.1.2

Subtraia $20 x$ dos dois lados da equação.

$34 - 2 x^{2} - 20 x = 4 y^{2} - 16 y$

Etapa 1.1.3

Subtraia $4 y^{2}$ dos dois lados da equação.

$34 - 2 x^{2} - 20 x - 4 y^{2} = - 16 y$

Etapa 1.1.4

Some $16 y$ aos dois lados da equação.

$34 - 2 x^{2} - 20 x - 4 y^{2} + 16 y = 0$

Etapa 1.1.5

Mova $34$ .

$- 2 x^{2} - 20 x - 4 y^{2} + 16 y + 34 = 0$

Etapa 1.1.6

Mova $- 20 x$ .

$- 2 x^{2} - 4 y^{2} - 20 x + 16 y + 34 = 0$

Etapa 1.2

Subtraia $34$ dos dois lados da equação.

$- 2 x^{2} - 4 y^{2} - 20 x + 16 y = - 34$

Etapa 1.3

Complete o quadrado de $- 2 x^{2} - 20 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 2$

$b = - 20$

$c = 0$

Etapa 1.3.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.3.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 20}{2 \cdot - 2}$

Etapa 1.3.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 20$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 20$ .

$d = \frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot - 2}$

Etapa 1.3.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot - 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 10}{2 (- 2)}$

Etapa 1.3.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot - 2}$

Etapa 1.3.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 10}{- 2}$

Etapa 1.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 10$ e $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.1

Fatore $- 2$ de $- 10$ .

$d = \frac{- 2 (5)}{- 2}$

Etapa 1.3.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.2.1

Fatore $- 2$ de $- 2$ .

$d = \frac{- 2 \cdot 5}{- 2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{- 2 \cdot 5}{- 2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{5}{1}$

Etapa 1.3.3.2.2.2.4

Divida $5$ por $1$ .

$d = 5$

Etapa 1.3.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 20)}^{2}}{4 \cdot - 2}$

Etapa 1.3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1.1

Eleve $- 20$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{400}{4 \cdot - 2}$

Etapa 1.3.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$e = 0 - \frac{400}{- 8}$

Etapa 1.3.4.2.1.3

Divida $400$ por $- 8$ .

$e = 0 - - 50$

Etapa 1.3.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 50$ .

$e = 0 + 50$

Etapa 1.3.4.2.2

Some $0$ e $50$ .

$e = 50$

Etapa 1.3.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- 2 {(x + 5)}^{2} + 50$ .

$- 2 {(x + 5)}^{2} + 50$

Etapa 1.4

Substitua $- 2 {(x + 5)}^{2} + 50$ por $- 2 x^{2} - 20 x$ na equação $- 2 x^{2} - 4 y^{2} - 20 x + 16 y = - 34$ .

$- 2 {(x + 5)}^{2} + 50 - 4 y^{2} + 16 y = - 34$

Etapa 1.5

Mova $50$ para o lado direito da equação, somando $50$ aos dois lados.

$- 2 {(x + 5)}^{2} - 4 y^{2} + 16 y = - 34 - 50$

Etapa 1.6

Complete o quadrado de $- 4 y^{2} + 16 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 4$

$b = 16$

$c = 0$

Etapa 1.6.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.6.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{16}{2 \cdot - 4}$

Etapa 1.6.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.3.2.1

Cancele o fator comum de $16$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.3.2.1.1

Fatore $2$ de $16$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot - 4}$

Etapa 1.6.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 (- 4)}$

Etapa 1.6.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot - 4}$

Etapa 1.6.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{8}{- 4}$

Etapa 1.6.3.2.2

Cancele o fator comum de $8$ e $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.3.2.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$d = \frac{4 (2)}{- 4}$

Etapa 1.6.3.2.2.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Etapa 1.6.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$d = - 2$

Etapa 1.6.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{16^{2}}{4 \cdot - 4}$

Etapa 1.6.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.4.2.1.1

Eleve $16$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot - 4}$

Etapa 1.6.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$e = 0 - \frac{256}{- 16}$

Etapa 1.6.4.2.1.3

Divida $256$ por $- 16$ .

$e = 0 - - 16$

Etapa 1.6.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 16$ .

$e = 0 + 16$

Etapa 1.6.4.2.2

Some $0$ e $16$ .

$e = 16$

Etapa 1.6.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- 4 {(y - 2)}^{2} + 16$ .

$- 4 {(y - 2)}^{2} + 16$

Etapa 1.7

Substitua $- 4 {(y - 2)}^{2} + 16$ por $- 4 y^{2} + 16 y$ na equação $- 2 x^{2} - 4 y^{2} - 20 x + 16 y = - 34$ .

$- 2 {(x + 5)}^{2} - 4 {(y - 2)}^{2} + 16 = - 34 - 50$

Etapa 1.8

Mova $16$ para o lado direito da equação, somando $16$ aos dois lados.

$- 2 {(x + 5)}^{2} - 4 {(y - 2)}^{2} = - 34 - 50 - 16$

Etapa 1.9

Simplifique $- 34 - 50 - 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.1

Subtraia $50$ de $- 34$ .

$- 2 {(x + 5)}^{2} - 4 {(y - 2)}^{2} = - 84 - 16$

Etapa 1.9.2

Subtraia $16$ de $- 84$ .

$- 2 {(x + 5)}^{2} - 4 {(y - 2)}^{2} = - 100$

Etapa 1.10

Inverta o sinal em cada termo da equação para que o termo do lado direito fique positivo.

$2 {(x + 5)}^{2} + 4 {(y - 2)}^{2} = 100$

Etapa 1.11

Divida cada termo por $100$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{2 {(x + 5)}^{2}}{100} + \frac{4 {(y - 2)}^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

Etapa 1.12

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{50} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{25} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = 5 \sqrt{2}$

$b = 5$

$k = 2$

$h = - 5$

Etapa 4

O centro de uma elipse segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(- 5, 2)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(5 \sqrt{2})}^{2} - {(5)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Aplique a regra do produto a $5 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{5^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {(5)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\sqrt{25 {\sqrt{2}}^{2} - {(5)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(5)}^{2}}$

Etapa 5.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(5)}^{2}}$

Etapa 5.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(5)}^{2}}$

Etapa 5.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(5)}^{2}}$

Etapa 5.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{25 \cdot 2^{1} - {(5)}^{2}}$

Etapa 5.3.2.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{25 \cdot 2 - {(5)}^{2}}$

Etapa 5.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Multiplique $25$ por $2$ .

$\sqrt{50 - {(5)}^{2}}$

Etapa 5.3.3.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\sqrt{50 - 1 \cdot 25}$

Etapa 5.3.3.3

Multiplique $- 1$ por $25$ .

$\sqrt{50 - 25}$

Etapa 5.3.3.4

Subtraia $25$ de $50$ .

$\sqrt{25}$

Etapa 5.3.3.5

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

Etapa 5.3.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$5$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma elipse pode ser encontrado ao somar $a$ com $h$ .

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(- 5 + 5 \sqrt{2}, 2)$

Etapa 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Etapa 6.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(- 5 - (5 \sqrt{2}), 2)$

Etapa 6.5

Simplifique.

$(- 5 - 5 \sqrt{2}, 2)$

Etapa 6.6

As elipses têm dois vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(- 5 + 5 \sqrt{2}, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5 - 5 \sqrt{2}, 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 5 + 5 \sqrt{2}, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5 - 5 \sqrt{2}, 2)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(- 5 + 5, 2)$

Etapa 7.3

Simplifique.

$(0, 2)$

Etapa 7.4

O segundo foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 7.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(- 5 - (5), 2)$

Etapa 7.6

Simplifique.

$(- 10, 2)$

Etapa 7.7

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(0, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- 10, 2)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- 10, 2)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(5 \sqrt{2})}^{2} - {(5)}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Aplique a regra do produto a $5 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 5^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{25 {\sqrt{2}}^{2} - 5^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.3

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 5^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 5^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 5^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 5^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{25 \cdot 2^{1} - 5^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.3.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{25 \cdot 2 - 5^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.4

Multiplique $25$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{50 - 5^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.5

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{50 - 1 \cdot 25}}{5 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.6

Multiplique $- 1$ por $25$ .

$\frac{\sqrt{50 - 25}}{5 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.7

Subtraia $25$ de $50$ .

$\frac{\sqrt{25}}{5 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.8

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.9

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{5}{5 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{5 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 8.3.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 8.3.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.4.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 8.3.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 8.3.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 8.3.4.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 8.3.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 8.3.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.3.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.3.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 8.3.4.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 9

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma elipse.

Centro: $(- 5, 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 5 + 5 \sqrt{2}, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5 - 5 \sqrt{2}, 2)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- 10, 2)$

Excentricidade: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 10