Pré-cálculo Exemplos

$9 x^{2} - 3 {(y - 8)}^{2} = - 128$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da hipérbole.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Inverta o sinal em cada termo da equação para que o termo do lado direito fique positivo.

$- 9 x^{2} + 3 {(y - 8)}^{2} = 128$

Etapa 1.2

Divida cada termo por $128$ para que o lado direito seja igual a um.

$- \frac{9 x^{2}}{128} + \frac{3 {(y - 8)}^{2}}{128} = \frac{128}{128}$

Etapa 1.3

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{\frac{128}{3}} - \frac{x^{2}}{\frac{128}{9}} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = \frac{8 \sqrt{6}}{3}$

$b = \frac{8 \sqrt{2}}{3}$

$k = 8$

$h = 0$

Etapa 4

O centro de uma hipérbole segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(0, 8)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(\frac{8 \sqrt{6}}{3})}^{2} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{8 \sqrt{6}}{3}$ .

$\sqrt{\frac{{(8 \sqrt{6})}^{2}}{3^{2}} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2

Aplique a regra do produto a $8 \sqrt{6}$ .

$\sqrt{\frac{8^{2} {\sqrt{6}}^{2}}{3^{2}} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{64 {\sqrt{6}}^{2}}{3^{2}} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.2

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{64 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{64 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{64 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{64 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{64 \cdot 6^{1}}{3^{2}} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.2.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{\frac{64 \cdot 6}{3^{2}} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{64 \cdot 6}{9} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.3.2

Multiplique $64$ por $6$ .

$\sqrt{\frac{384}{9} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.3.3

Cancele o fator comum de $384$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.3.1

Fatore $3$ de $384$ .

$\sqrt{\frac{3 (128)}{9} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.3.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 128}{3 \cdot 3} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 128}{3 \cdot 3} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{128}{3} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.4

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{8 \sqrt{2}}{3}$ .

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{{(8 \sqrt{2})}^{2}}{3^{2}}}$

Etapa 5.3.4.2

Aplique a regra do produto a $8 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{8^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{3^{2}}}$

Etapa 5.3.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{64 {\sqrt{2}}^{2}}{3^{2}}}$

Etapa 5.3.5.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{64 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}}$

Etapa 5.3.5.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{64 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}}$

Etapa 5.3.5.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{64 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Etapa 5.3.5.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{64 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Etapa 5.3.5.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{64 \cdot 2^{1}}{3^{2}}}$

Etapa 5.3.5.2.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{64 \cdot 2}{3^{2}}}$

Etapa 5.3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{64 \cdot 2}{9}}$

Etapa 5.3.6.2

Multiplique $64$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{128}{9}}$

Etapa 5.3.7

Para escrever $\frac{128}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{128}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{128}{9}}$

Etapa 5.3.8

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.8.1

Multiplique $\frac{128}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{128 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{128}{9}}$

Etapa 5.3.8.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\sqrt{\frac{128 \cdot 3}{9} + \frac{128}{9}}$

Etapa 5.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{128 \cdot 3 + 128}{9}}$

Etapa 5.3.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.10.1

Multiplique $128$ por $3$ .

$\sqrt{\frac{384 + 128}{9}}$

Etapa 5.3.10.2

Some $384$ e $128$ .

$\sqrt{\frac{512}{9}}$

Etapa 5.3.11

Reescreva $\sqrt{\frac{512}{9}}$ como $\frac{\sqrt{512}}{\sqrt{9}}$ .

$\frac{\sqrt{512}}{\sqrt{9}}$

Etapa 5.3.12

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.12.1

Reescreva $512$ como $16^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.12.1.1

Fatore $256$ de $512$ .

$\frac{\sqrt{256 (2)}}{\sqrt{9}}$

Etapa 5.3.12.1.2

Reescreva $256$ como $16^{2}$ .

$\frac{\sqrt{16^{2} \cdot 2}}{\sqrt{9}}$

Etapa 5.3.12.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{16 \sqrt{2}}{\sqrt{9}}$

Etapa 5.3.13

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.13.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{16 \sqrt{2}}{\sqrt{3^{2}}}$

Etapa 5.3.13.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{16 \sqrt{2}}{3}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $a$ com $k$ .

$(h, k + a)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(0, 8 + \frac{8 \sqrt{6}}{3})$

Etapa 6.3

O segundo vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $a$ de $k$ .

$(h, k - a)$

Etapa 6.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(0, 8 - \frac{8 \sqrt{6}}{3})$

Etapa 6.5

Os vértices de uma hipérbole seguem a forma $(h, k \pm a)$ . As hipérboles têm dois vértices.

$(0, 8 + \frac{8 \sqrt{6}}{3}), (0, 8 - \frac{8 \sqrt{6}}{3})$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $c$ com $k$ .

$(h, k + c)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(0, 8 + \frac{16 \sqrt{2}}{3})$

Etapa 7.3

O segundo foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(0, 8 - \frac{16 \sqrt{2}}{3})$

Etapa 7.5

O ponto imaginário de uma hipérbole segue a forma de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . As hipérboles têm dois pontos imaginários.

$(0, 8 + \frac{16 \sqrt{2}}{3}), (0, 8 - \frac{16 \sqrt{2}}{3})$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\frac{8 \sqrt{6}}{3})}^{2} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}}}{\frac{8 \sqrt{6}}{3}}$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sqrt{{(\frac{8 \sqrt{6}}{3})}^{2} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.2

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{8 \sqrt{6}}{3}$ .

$\sqrt{\frac{{(8 \sqrt{6})}^{2}}{3^{2}} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.2.2

Aplique a regra do produto a $8 \sqrt{6}$ .

$\sqrt{\frac{8^{2} {\sqrt{6}}^{2}}{3^{2}} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{64 {\sqrt{6}}^{2}}{3^{2}} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.3.2

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{64 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{64 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{64 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{64 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{64 \cdot 6^{1}}{3^{2}} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.3.2.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{\frac{64 \cdot 6}{3^{2}} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.4.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{64 \cdot 6}{9} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.4.2

Multiplique $64$ por $6$ .

$\sqrt{\frac{384}{9} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.4.3

Cancele o fator comum de $384$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.4.3.1

Fatore $3$ de $384$ .

$\sqrt{\frac{3 (128)}{9} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.4.3.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 128}{3 \cdot 3} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 128}{3 \cdot 3} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{128}{3} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.5

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.5.1

Aplique a regra do produto a $\frac{8 \sqrt{2}}{3}$ .

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{{(8 \sqrt{2})}^{2}}{3^{2}}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.5.2

Aplique a regra do produto a $8 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{8^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{3^{2}}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.6.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{64 {\sqrt{2}}^{2}}{3^{2}}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.6.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.6.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{64 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.6.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{64 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.6.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{64 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.6.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.6.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{64 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.6.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{64 \cdot 2^{1}}{3^{2}}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.6.2.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{64 \cdot 2}{3^{2}}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.7.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{64 \cdot 2}{9}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.7.2

Multiplique $64$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{128}{9}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.8

Para escrever $\frac{128}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{128}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{128}{9}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.9

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.9.1

Multiplique $\frac{128}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{128 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{128}{9}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.9.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\sqrt{\frac{128 \cdot 3}{9} + \frac{128}{9}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{128 \cdot 3 + 128}{9}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.11

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.11.1

Multiplique $128$ por $3$ .

$\sqrt{\frac{384 + 128}{9}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.11.2

Some $384$ e $128$ .

$\sqrt{\frac{512}{9}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.12

Reescreva $\sqrt{\frac{512}{9}}$ como $\frac{\sqrt{512}}{\sqrt{9}}$ .

$\frac{\sqrt{512}}{\sqrt{9}} \cdot \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.13

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.13.1

Reescreva $512$ como $16^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.13.1.1

Fatore $256$ de $512$ .

$\frac{\sqrt{256 (2)}}{\sqrt{9}} \cdot \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.13.1.2

Reescreva $256$ como $16^{2}$ .

$\frac{\sqrt{16^{2} \cdot 2}}{\sqrt{9}} \cdot \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.13.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{16 \sqrt{2}}{\sqrt{9}} \cdot \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.14

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.14.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{16 \sqrt{2}}{\sqrt{3^{2}}} \cdot \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.14.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{16 \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.15

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.15.1

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.15.1.1

Fatore $8$ de $16 \sqrt{2}$ .

$\frac{8 (2 \sqrt{2})}{3} \cdot \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.15.1.2

Fatore $8$ de $8 \sqrt{6}$ .

$\frac{8 (2 \sqrt{2})}{3} \cdot \frac{3}{8 (\sqrt{6})}$

Etapa 8.3.15.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{8 (2 \sqrt{2})}{3} \cdot \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Etapa 8.3.15.1.4

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{6}}$

Etapa 8.3.15.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.15.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{6}}$

Etapa 8.3.15.2.2

Reescreva a expressão.

$2 \sqrt{2} \frac{1}{\sqrt{6}}$

Etapa 8.3.15.3

Combine $\frac{1}{\sqrt{6}}$ e $2$ .

$\frac{2}{\sqrt{6}} \sqrt{2}$

Etapa 8.3.15.4

Combine $\frac{2}{\sqrt{6}}$ e $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{6}}$

Etapa 8.3.16

Combine $\sqrt{2}$ e $\sqrt{6}$ em um único radical.

$2 \sqrt{\frac{2}{6}}$

Etapa 8.3.17

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.17.1

Fatore $2$ de $2$ .

$2 \sqrt{\frac{2 (1)}{6}}$

Etapa 8.3.17.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.17.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$2 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}$

Etapa 8.3.17.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}$

Etapa 8.3.17.2.3

Reescreva a expressão.

$2 \sqrt{\frac{1}{3}}$

Etapa 8.3.18

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$2 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.19

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.20

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$2 (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Etapa 8.3.21

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.21.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 8.3.21.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 8.3.21.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 8.3.21.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 8.3.21.5

Some $1$ e $1$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 8.3.21.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.21.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 8.3.21.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 8.3.21.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.3.21.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.21.6.4.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.3.21.6.4.2

Reescreva a expressão.

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 8.3.21.6.5

Avalie o expoente.

$2 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 8.3.22

Combine $2$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 9

Encontre o parâmetro focal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Encontre o valor do parâmetro focal da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Etapa 9.2

Substitua os valores de $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ na fórmula.

$\frac{\frac{\frac{8 \sqrt{2}}{3^{2}}}{16 \sqrt{2}}}{3}$

Etapa 9.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{\frac{8 \sqrt{2}}{3^{2}}}{16 \sqrt{2}} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 9.3.2

Combine.

$\frac{\frac{8 \sqrt{2}}{3^{2}} \cdot 1}{16 \sqrt{2} \cdot 3}$

Etapa 9.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{\frac{8 \sqrt{2}}{9} \cdot 1}{16 \sqrt{2} \cdot 3}$

Etapa 9.3.3.2

Multiplique $\frac{8 \sqrt{2}}{9}$ por $1$ .

$\frac{\frac{8 \sqrt{2}}{9}}{16 \sqrt{2} \cdot 3}$

Etapa 9.3.3.3

Multiplique $3$ por $16$ .

$\frac{\frac{8 \sqrt{2}}{9}}{48 \sqrt{2}}$

Etapa 9.3.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{8 \sqrt{2}}{9} \cdot \frac{1}{48 \sqrt{2}}$

Etapa 9.3.5

Cancele o fator comum de $8 \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.5.1

Fatore $8 \sqrt{2}$ de $48 \sqrt{2}$ .

$\frac{8 \sqrt{2}}{9} \cdot \frac{1}{8 \sqrt{2} (6)}$

Etapa 9.3.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{8 \sqrt{2}}{9} \cdot \frac{1}{8 \sqrt{2} \cdot 6}$

Etapa 9.3.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{6}$

Etapa 9.3.6

Multiplique $\frac{1}{9}$ por $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{9 \cdot 6}$

Etapa 9.3.7

Multiplique $9$ por $6$ .

$\frac{1}{54}$

Etapa 10

As assíntotas seguem a forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , porque esta hipérbole se abre para cima e para baixo.

$y = \pm \sqrt{3} \cdot x + 8$

Etapa 11

Multiplique $\sqrt{3}$ por $x$ .

$y = \sqrt{3} x + 8$

Etapa 12

Multiplique $- \sqrt{3}$ por $x$ .

$y = - \sqrt{3} x + 8$

Etapa 13

Essa hipérbole tem duas assíntotas.

$y = \sqrt{3} x + 8, y = - \sqrt{3} x + 8$

Etapa 14

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma hipérbole.

Centro: $(0, 8)$

Vértices: $(0, 8 + \frac{8 \sqrt{6}}{3}), (0, 8 - \frac{8 \sqrt{6}}{3})$

Ponto imaginário: $(0, 8 + \frac{16 \sqrt{2}}{3}), (0, 8 - \frac{16 \sqrt{2}}{3})$

Excentricidade: $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Parâmetro focal: $\frac{1}{54}$

Assíntotas: $y = \sqrt{3} x + 8$ , $y = - \sqrt{3} x + 8$

Etapa 15