Pré-cálculo Exemplos

$\frac{2}{3} \cdot \ln (8) + \ln (x) + \ln (x^{2} - 4) - \ln (x - 2)$

Etapa 1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{2}{3} \cdot \ln (8) + \ln (x (x^{2} - 4)) - \ln (x - 2)$

Etapa 2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{2}{3} \cdot \ln (8) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1

Simplifique $\frac{2}{3} \ln (8)$ movendo $\frac{2}{3}$ para dentro do logaritmo.

$\ln (8^{\frac{2}{3}}) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Etapa 3.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\ln ({(2^{3})}^{\frac{2}{3}}) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Etapa 3.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (2^{3 (\frac{2}{3})}) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.4.1

Cancele o fator comum.

$\ln (2^{3 (\frac{2}{3})}) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Etapa 3.4.2

Reescreva a expressão.

$\ln (2^{2}) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Etapa 3.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\ln (4) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Etapa 3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\ln (4) + \ln (\frac{x (x^{2} - 2^{2})}{x - 2})$

Etapa 3.6.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$\ln (4) + \ln (\frac{x (x + 2) (x - 2)}{x - 2})$

Etapa 3.7

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

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Etapa 3.7.1

Cancele o fator comum.

$\ln (4) + \ln (\frac{x (x + 2) (x - 2)}{x - 2})$

Etapa 3.7.2

Divida $x (x + 2)$ por $1$ .

$\ln (4) + \ln (x (x + 2))$

Etapa 3.8

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (4) + \ln (x \cdot x + x \cdot 2)$

Etapa 3.9

Multiplique $x$ por $x$ .

$\ln (4) + \ln (x^{2} + x \cdot 2)$

Etapa 3.10

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\ln (4) + \ln (x^{2} + 2 x)$

Etapa 4

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (4 (x^{2} + 2 x))$

Etapa 5

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (4 x^{2} + 4 (2 x))$

Etapa 6

Multiplique $2$ por $4$ .

$\ln (4 x^{2} + 8 x)$