Pré-cálculo Exemplos

$x^{2} + y^{2} - \frac{1}{2} y = \frac{1}{8}$

Etapa 1

Complete o quadrado de $y^{2} - \frac{1}{2} y$ .

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Etapa 1.1

Combine $y$ e $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} - \frac{y}{2}$

Etapa 1.2

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - \frac{1}{2}$

$c = 0$

Etapa 1.3

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.4

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 1.4.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{1}{2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.4.2.1

Cancele o fator comum de $- 1$ e $1$ .

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Etapa 1.4.2.1.1

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1) \frac{1}{2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{1}{2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

Etapa 1.4.2.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 1.4.2.3

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.4.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$d = - \frac{1}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.4.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$d = - \frac{1}{4}$

Etapa 1.5

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 1.5.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.2.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.5.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.2.1.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.2.1.1.3

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.2.1.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$e = 0 - \frac{1 \frac{1}{2^{2}}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.2.1.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 (\frac{1}{4})}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.2.1.1.6

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{4}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{4}}{4}$

Etapa 1.5.2.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e = 0 - (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4})$

Etapa 1.5.2.1.4

Multiplique $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Etapa 1.5.2.1.4.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 4}$

Etapa 1.5.2.1.4.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{1}{16}$

Etapa 1.5.2.2

Subtraia $\frac{1}{16}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{16}$

Etapa 1.6

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(y - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$ .

${(y - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$

Etapa 2

Substitua ${(y - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$ por $y^{2} - \frac{1}{2} y$ na equação $x^{2} + y^{2} - \frac{1}{2} y = \frac{1}{8}$ .

$x^{2} + {(y - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16} = \frac{1}{8}$

Etapa 3

Mova $- \frac{1}{16}$ para o lado direito da equação, somando $\frac{1}{16}$ aos dois lados.

$x^{2} + {(y - \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$

Etapa 4

Simplifique $\frac{1}{8} + \frac{1}{16}$ .

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Etapa 4.1

Para escrever $\frac{1}{8}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} + {(y - \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{16}$

Etapa 4.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $16$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.2.1

Multiplique $\frac{1}{8}$ por $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} + {(y - \frac{1}{4})}^{2} = \frac{2}{8 \cdot 2} + \frac{1}{16}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $8$ por $2$ .

$x^{2} + {(y - \frac{1}{4})}^{2} = \frac{2}{16} + \frac{1}{16}$

Etapa 4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x^{2} + {(y - \frac{1}{4})}^{2} = \frac{2 + 1}{16}$

Etapa 4.4

Some $2$ e $1$ .

$x^{2} + {(y - \frac{1}{4})}^{2} = \frac{3}{16}$

Etapa 5

Esta é a forma de um círculo. Use-a para determinar o centro e o raio do círculo.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Etapa 6

Associe os valores neste círculo com os da forma padrão. A variável $r$ representa o raio do círculo, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$r = \frac{\sqrt{3}}{4}$

$h = 0$

$k = \frac{1}{4}$

Etapa 7

O centro do círculo é encontrado em $(h, k)$ .

Centro: $(0, \frac{1}{4})$

Etapa 8

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar um círculo.

Centro: $(0, \frac{1}{4})$

Raio: $\frac{\sqrt{3}}{4}$

Etapa 9