Pré-cálculo Exemplos

$x^{2} + \frac{1}{3} x + y^{2} - \frac{2}{3} y = \frac{1}{9}$

Etapa 1

Complete o quadrado de $x^{2} + \frac{1}{3} x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x$ .

$x^{2} + \frac{x}{3}$

Etapa 1.2

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = \frac{1}{3}$

$c = 0$

Etapa 1.3

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.4

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{1}{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.2.2

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 1.4.2.3

Multiplique $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{1}{3 \cdot 2}$

Etapa 1.4.2.3.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$d = \frac{1}{6}$

Etapa 1.5

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(\frac{1}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.2.1.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$e = 0 - \frac{\frac{1}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.2.1.1.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{9}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{9}}{4}$

Etapa 1.5.2.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e = 0 - (\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Etapa 1.5.2.1.4

Multiplique $\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.4.1

Multiplique $\frac{1}{9}$ por $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{1}{9 \cdot 4}$

Etapa 1.5.2.1.4.2

Multiplique $9$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{1}{36}$

Etapa 1.5.2.2

Subtraia $\frac{1}{36}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{36}$

Etapa 1.6

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(x + \frac{1}{6})}^{2} - \frac{1}{36}$ .

${(x + \frac{1}{6})}^{2} - \frac{1}{36}$

Etapa 2

Substitua ${(x + \frac{1}{6})}^{2} - \frac{1}{36}$ por $x^{2} + \frac{1}{3} x$ na equação $x^{2} + \frac{1}{3} x + y^{2} - \frac{2}{3} y = \frac{1}{9}$ .

${(x + \frac{1}{6})}^{2} - \frac{1}{36} + y^{2} - \frac{2}{3} y = \frac{1}{9}$

Etapa 3

Mova $- \frac{1}{36}$ para o lado direito da equação, somando $\frac{1}{36}$ aos dois lados.

${(x + \frac{1}{6})}^{2} + y^{2} - \frac{2}{3} y = \frac{1}{9} + \frac{1}{36}$

Etapa 4

Complete o quadrado de $y^{2} - \frac{2}{3} y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Combine $y$ e $\frac{2}{3}$ .

$y^{2} - \frac{y \cdot 2}{3}$

Etapa 4.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$y^{2} - \frac{2 y}{3}$

Etapa 4.2

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - \frac{2}{3}$

$c = 0$

Etapa 4.3

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 4.4

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Cancele o fator comum de $- 1$ e $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1.1

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1) \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- \frac{2}{3}}{2}$

Etapa 4.4.2.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 4.4.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{3}$ para o numerador.

$d = \frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 4.4.2.3.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$d = \frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 4.4.2.3.3

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 4.4.2.3.4

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 1}{3}$

Etapa 4.4.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$d = - \frac{1}{3}$

Etapa 4.5

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 4.5.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- \frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 4.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2}{3}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 4.5.2.1.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 4.5.2.1.1.3

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{2^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Etapa 4.5.2.1.1.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{4}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Etapa 4.5.2.1.1.5

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 (\frac{4}{9})}{4 \cdot 1}$

Etapa 4.5.2.1.1.6

Multiplique $\frac{4}{9}$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{4}{9}}{4 \cdot 1}$

Etapa 4.5.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{4}{9}}{4}$

Etapa 4.5.2.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e = 0 - (\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Etapa 4.5.2.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$e = 0 - (\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Etapa 4.5.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$e = 0 - \frac{1}{9}$

Etapa 4.5.2.2

Subtraia $\frac{1}{9}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{9}$

Etapa 4.6

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$ .

${(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$

Etapa 5

Substitua ${(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$ por $y^{2} - \frac{2}{3} y$ na equação $x^{2} + \frac{1}{3} x + y^{2} - \frac{2}{3} y = \frac{1}{9}$ .

${(x + \frac{1}{6})}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9} = \frac{1}{9} + \frac{1}{36}$

Etapa 6

Mova $- \frac{1}{9}$ para o lado direito da equação, somando $\frac{1}{9}$ aos dois lados.

${(x + \frac{1}{6})}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{9} + \frac{1}{36} + \frac{1}{9}$

Etapa 7

Simplifique $\frac{1}{9} + \frac{1}{36} + \frac{1}{9}$ .

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Etapa 7.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(x + \frac{1}{6})}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{1 + 1}{9} + \frac{1}{36}$

Etapa 7.2

Some $1$ e $1$ .

${(x + \frac{1}{6})}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{2}{9} + \frac{1}{36}$

Etapa 7.3

Para escrever $\frac{2}{9}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

${(x + \frac{1}{6})}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{2}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{36}$

Etapa 7.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $36$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Multiplique $\frac{2}{9}$ por $\frac{4}{4}$ .

${(x + \frac{1}{6})}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{2 \cdot 4}{9 \cdot 4} + \frac{1}{36}$

Etapa 7.4.2

Multiplique $9$ por $4$ .

${(x + \frac{1}{6})}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{2 \cdot 4}{36} + \frac{1}{36}$

Etapa 7.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(x + \frac{1}{6})}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{36}$

Etapa 7.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.1

Multiplique $2$ por $4$ .

${(x + \frac{1}{6})}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{8 + 1}{36}$

Etapa 7.6.2

Some $8$ e $1$ .

${(x + \frac{1}{6})}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{9}{36}$

Etapa 7.7

Cancele o fator comum de $9$ e $36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.1

Fatore $9$ de $9$ .

${(x + \frac{1}{6})}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{9 (1)}{36}$

Etapa 7.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.2.1

Fatore $9$ de $36$ .

${(x + \frac{1}{6})}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 4}$

Etapa 7.7.2.2

Cancele o fator comum.

${(x + \frac{1}{6})}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 4}$

Etapa 7.7.2.3

Reescreva a expressão.

${(x + \frac{1}{6})}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{4}$

Etapa 8

Esta é a forma de um círculo. Use-a para determinar o centro e o raio do círculo.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Etapa 9

Associe os valores neste círculo com os da forma padrão. A variável $r$ representa o raio do círculo, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$r = \frac{1}{2}$

$h = - \frac{1}{6}$

$k = \frac{1}{3}$

Etapa 10

O centro do círculo é encontrado em $(h, k)$ .

Centro: $(- \frac{1}{6}, \frac{1}{3})$

Etapa 11

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar um círculo.

Centro: $(- \frac{1}{6}, \frac{1}{3})$

Raio: $\frac{1}{2}$

Etapa 12