Pré-cálculo Exemplos

$\log_{3} (x^{2} - 1) + 2 \log_{3} (2 x - 2) - 3 \log_{3} (x - 1)$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Simplifique $2 \log_{3} (2 x - 2)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\log_{3} (x^{2} - 1) + \log_{3} ({(2 x - 2)}^{2}) - 3 \log_{3} (x - 1)$

Etapa 1.2

Simplifique $- 3 \log_{3} (x - 1)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\log_{3} (x^{2} - 1) + \log_{3} ({(2 x - 2)}^{2}) - \log_{3} ({(x - 1)}^{3})$

Etapa 2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} ((x^{2} - 1) {(2 x - 2)}^{2}) - \log_{3} ({(x - 1)}^{3})$

Etapa 3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{(x^{2} - 1) {(2 x - 2)}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\log_{3} (\frac{(x^{2} - 1^{2}) {(2 x - 2)}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Etapa 4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) (x - 1) {(2 x - 2)}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Etapa 4.3

Fatore $2$ de $2 x - 2$ .

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Etapa 4.3.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) (x - 1) {(2 (x) - 2)}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Etapa 4.3.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) (x - 1) {(2 (x) + 2 (- 1))}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Etapa 4.3.3

Fatore $2$ de $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) (x - 1) {(2 (x - 1))}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Etapa 4.4

Aplique a regra do produto a $2 (x - 1)$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) (x - 1) \cdot 2^{2} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Etapa 4.5

Multiplique $x - 1$ por ${(x - 1)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.5.1

Mova ${(x - 1)}^{2}$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) ({(x - 1)}^{2} (x - 1)) \cdot 2^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Etapa 4.5.2

Multiplique ${(x - 1)}^{2}$ por $x - 1$ .

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Etapa 4.5.2.1

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) ({(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{1}) \cdot 2^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Etapa 4.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\log_{3} (\frac{(x + 1) {(x - 1)}^{2 + 1} \cdot 2^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Etapa 4.5.3

Some $2$ e $1$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) {(x - 1)}^{3} \cdot 2^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Etapa 4.6

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) {(x - 1)}^{3} \cdot 4}{{(x - 1)}^{3}})$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Cancele o fator comum de ${(x - 1)}^{3}$ .

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Etapa 5.1.1

Cancele o fator comum.

$\log_{3} (\frac{(x + 1) {(x - 1)}^{3} \cdot 4}{{(x - 1)}^{3}})$

Etapa 5.1.2

Divida $(x + 1) \cdot 4$ por $1$ .

$\log_{3} ((x + 1) \cdot 4)$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{3} (x \cdot 4 + 1 \cdot 4)$

Etapa 5.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$\log_{3} (4 \cdot x + 1 \cdot 4)$

Etapa 5.3.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$\log_{3} (4 x + 4)$