Pré-cálculo Exemplos

$\ln (\sqrt{x}) + \frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \ln (\frac{1}{y})$

Etapa 1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\sqrt{x} \frac{y}{x}) + \frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \ln (\frac{1}{y})$

Etapa 2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \ln (\sqrt{x} \frac{y}{x} \frac{1}{y})$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1

Simplifique $\frac{1}{2} \ln (x)$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \ln (\sqrt{x} \frac{y}{x} \frac{1}{y})$

Etapa 3.2

Combine $\sqrt{x}$ e $\frac{y}{x}$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \ln (\frac{\sqrt{x} y}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.3.1

Fatore $y$ de $\sqrt{x} y$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \ln (\frac{y \sqrt{x}}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \ln (\frac{y \sqrt{x}}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Etapa 3.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \ln (\frac{\sqrt{x}}{x})$

Etapa 4

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{x}}{x})$

Etapa 5

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1

Multiplique $x^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{x}}{x}$ .

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Etapa 5.1.1

Combine $x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{\sqrt{x}}{x}$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{x})$

Etapa 5.1.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x})$

Etapa 5.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{x})$

Etapa 5.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{1 + 1}{2}}}{x})$

Etapa 5.1.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{x})$

Etapa 5.1.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{x})$

Etapa 5.1.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{1}}{x})$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $x^{1}$ e $x$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x \cdot 1}{x})$

Etapa 5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x \cdot 1}{x^{1}})$

Etapa 5.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x \cdot 1}{x \cdot 1})$

Etapa 5.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x \cdot 1}{x \cdot 1})$

Etapa 5.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{1}{1})$

Etapa 5.2.2.5

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (1)$

Etapa 5.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + 0$

Etapa 6

Some $\frac{\ln (x)}{\ln (y)}$ e $0$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)}$