Pré-cálculo Exemplos

$\ln (3 + x) + \ln (2 x - 1) - 2 \ln (x)$

Etapa 1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((3 + x) (2 x - 1)) - 2 \ln (x)$

Etapa 2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1

Expanda $(3 + x) (2 x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (3 (2 x - 1) + x (2 x - 1)) - 2 \ln (x)$

Etapa 2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (3 (2 x) + 3 \cdot - 1 + x (2 x - 1)) - 2 \ln (x)$

Etapa 2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (3 (2 x) + 3 \cdot - 1 + x (2 x) + x \cdot - 1) - 2 \ln (x)$

Etapa 2.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\ln (6 x + 3 \cdot - 1 + x (2 x) + x \cdot - 1) - 2 \ln (x)$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\ln (6 x - 3 + x (2 x) + x \cdot - 1) - 2 \ln (x)$

Etapa 2.2.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\ln (6 x - 3 + 2 x \cdot x + x \cdot - 1) - 2 \ln (x)$

Etapa 2.2.1.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.1.4.1

Mova $x$ .

$\ln (6 x - 3 + 2 (x \cdot x) + x \cdot - 1) - 2 \ln (x)$

Etapa 2.2.1.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\ln (6 x - 3 + 2 x^{2} + x \cdot - 1) - 2 \ln (x)$

Etapa 2.2.1.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\ln (6 x - 3 + 2 x^{2} - 1 \cdot x) - 2 \ln (x)$

Etapa 2.2.1.6

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\ln (6 x - 3 + 2 x^{2} - x) - 2 \ln (x)$

Etapa 2.2.2

Subtraia $x$ de $6 x$ .

$\ln (5 x - 3 + 2 x^{2}) - 2 \ln (x)$

Etapa 2.3

Simplifique $- 2 \ln (x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\ln (5 x - 3 + 2 x^{2}) - \ln (x^{2})$

Etapa 3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{5 x - 3 + 2 x^{2}}{x^{2}})$

Etapa 4

Fatore por agrupamento.

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Etapa 4.1

Reordene os termos.

$\ln (\frac{2 x^{2} + 5 x - 3}{x^{2}})$

Etapa 4.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ e cuja soma é $b = 5$ .

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Etapa 4.2.1

Fatore $5$ de $5 x$ .

$\ln (\frac{2 x^{2} + 5 (x) - 3}{x^{2}})$

Etapa 4.2.2

Reescreva $5$ como $- 1$ mais $6$

$\ln (\frac{2 x^{2} + (- 1 + 6) x - 3}{x^{2}})$

Etapa 4.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (\frac{2 x^{2} - 1 x + 6 x - 3}{x^{2}})$

Etapa 4.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 4.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\ln (\frac{(2 x^{2} - 1 x) + 6 x - 3}{x^{2}})$

Etapa 4.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\ln (\frac{x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1)}{x^{2}})$

Etapa 4.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 1$ .

$\ln (\frac{(2 x - 1) (x + 3)}{x^{2}})$