Pré-cálculo Exemplos

$\ln (2) - \ln (y) + \frac{1}{2} \cdot \ln (x + y) - \frac{1}{3} \cdot \ln (27)$

Etapa 1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2}{y}) + \frac{1}{2} \cdot \ln (x + y) - \frac{1}{3} \cdot \ln (27)$

Etapa 2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1

Simplifique $\frac{1}{2} \ln (x + y)$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$\ln (\frac{2}{y}) + \ln ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{3} \cdot \ln (27)$

Etapa 2.2

Multiplique $- \frac{1}{3} \ln (27)$ .

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Etapa 2.2.1

Reordene $\ln (27)$ e $\frac{1}{3}$ .

$\ln (\frac{2}{y}) + \ln ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - (\frac{1}{3} \ln (27))$

Etapa 2.2.2

Simplifique $\frac{1}{3} \ln (27)$ movendo $\frac{1}{3}$ para dentro do logaritmo.

$\ln (\frac{2}{y}) + \ln ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - \ln (27^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.3

Reescreva $27$ como $3^{3}$ .

$\ln (\frac{2}{y}) + \ln ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({(3^{3})}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{2}{y}) + \ln ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - \ln (3^{3 (\frac{1}{3})})$

Etapa 2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.5.1

Cancele o fator comum.

$\ln (\frac{2}{y}) + \ln ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - \ln (3^{3 (\frac{1}{3})})$

Etapa 2.5.2

Reescreva a expressão.

$\ln (\frac{2}{y}) + \ln ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - \ln (3^{1})$

Etapa 2.6

Avalie o expoente.

$\ln (\frac{2}{y}) + \ln ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - \ln (3)$

Etapa 3

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\frac{2}{y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - \ln (3)$

Etapa 4

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{2}{y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{3})$

Etapa 5

Combine $\frac{2}{y}$ e ${(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y}}{3})$

Etapa 6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\ln (\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y} \cdot \frac{1}{3})$

Etapa 7

Combine.

$\ln (\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{y \cdot 3})$

Etapa 8

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\ln (\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y \cdot 3})$

Etapa 8.2

Mova $3$ para a esquerda de $y$ .

$\ln (\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{3 y})$