Pré-cálculo Exemplos

$\frac{1}{3} \cdot (2 \ln (x + 6) - \ln (x) - \ln (x^{2} - 36))$

Etapa 1

Simplifique $2 \ln (x + 6)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{1}{3} \cdot (\ln ({(x + 6)}^{2}) - \ln (x) - \ln (x^{2} - 36))$

Etapa 2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{3} \cdot (\ln (\frac{{(x + 6)}^{2}}{x}) - \ln (x^{2} - 36))$

Etapa 3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{\frac{{(x + 6)}^{2}}{x}}{x^{2} - 36})$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{{(x + 6)}^{2}}{x} \cdot \frac{1}{x^{2} - 36})$

Etapa 5

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.1

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{{(x + 6)}^{2}}{x} \cdot \frac{1}{x^{2} - 6^{2}})$

Etapa 5.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 6$ .

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{{(x + 6)}^{2}}{x} \cdot \frac{1}{(x + 6) (x - 6)})$

Etapa 6

Simplifique os termos.

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Etapa 6.1

Combine.

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{{(x + 6)}^{2} \cdot 1}{x ((x + 6) (x - 6))})$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de ${(x + 6)}^{2}$ e $x + 6$ .

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Etapa 6.2.1

Fatore $x + 6$ de ${(x + 6)}^{2} \cdot 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{(x + 6) ((x + 6) \cdot 1)}{x ((x + 6) (x - 6))})$

Etapa 6.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.2.1

Fatore $x + 6$ de $x ((x + 6) (x - 6))$ .

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{(x + 6) ((x + 6) \cdot 1)}{(x + 6) (x (x - 6))})$

Etapa 6.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{(x + 6) ((x + 6) \cdot 1)}{(x + 6) (x (x - 6))})$

Etapa 6.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{(x + 6) \cdot 1}{x (x - 6)})$

Etapa 6.3

Multiplique $x + 6$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{x + 6}{x (x - 6)})$

Etapa 7

Simplifique $\frac{1}{3} \ln (\frac{x + 6}{x (x - 6)})$ movendo $\frac{1}{3}$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({(\frac{x + 6}{x (x - 6)})}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 8

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 8.1

Aplique a regra do produto a $\frac{x + 6}{x (x - 6)}$ .

$\ln (\frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{3}}}{{(x (x - 6))}^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 8.2

Aplique a regra do produto a $x (x - 6)$ .

$\ln (\frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}})$