Pré-cálculo Exemplos

$\frac{1}{5} \cdot \log_{b} (x^{2} y^{6}) - \frac{5}{7} \cdot \log_{b} (x^{6} y)$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Simplifique $\frac{1}{5} \log_{b} (x^{2} y^{6})$ movendo $\frac{1}{5}$ para dentro do logaritmo.

$\log_{b} ({(x^{2} y^{6})}^{\frac{1}{5}}) - \frac{5}{7} \cdot \log_{b} (x^{6} y)$

Etapa 1.2

Aplique a regra do produto a $x^{2} y^{6}$ .

$\log_{b} ({(x^{2})}^{\frac{1}{5}} {(y^{6})}^{\frac{1}{5}}) - \frac{5}{7} \cdot \log_{b} (x^{6} y)$

Etapa 1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{\frac{1}{5}}$ .

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Etapa 1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{b} (x^{2 (\frac{1}{5})} {(y^{6})}^{\frac{1}{5}}) - \frac{5}{7} \cdot \log_{b} (x^{6} y)$

Etapa 1.3.2

Combine $2$ e $\frac{1}{5}$ .

$\log_{b} (x^{\frac{2}{5}} {(y^{6})}^{\frac{1}{5}}) - \frac{5}{7} \cdot \log_{b} (x^{6} y)$

Etapa 1.4

Multiplique os expoentes em ${(y^{6})}^{\frac{1}{5}}$ .

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Etapa 1.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{b} (x^{\frac{2}{5}} y^{6 (\frac{1}{5})}) - \frac{5}{7} \cdot \log_{b} (x^{6} y)$

Etapa 1.4.2

Combine $6$ e $\frac{1}{5}$ .

$\log_{b} (x^{\frac{2}{5}} y^{\frac{6}{5}}) - \frac{5}{7} \cdot \log_{b} (x^{6} y)$

Etapa 1.5

Multiplique $- \frac{5}{7} \log_{b} (x^{6} y)$ .

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Etapa 1.5.1

Reordene $\log_{b} (x^{6} y)$ e $\frac{5}{7}$ .

$\log_{b} (x^{\frac{2}{5}} y^{\frac{6}{5}}) - (\frac{5}{7} \log_{b} (x^{6} y))$

Etapa 1.5.2

Simplifique $\frac{5}{7} \log_{b} (x^{6} y)$ movendo $\frac{5}{7}$ para dentro do logaritmo.

$\log_{b} (x^{\frac{2}{5}} y^{\frac{6}{5}}) - \log_{b} ({(x^{6} y)}^{\frac{5}{7}})$

Etapa 1.6

Aplique a regra do produto a $x^{6} y$ .

$\log_{b} (x^{\frac{2}{5}} y^{\frac{6}{5}}) - \log_{b} ({(x^{6})}^{\frac{5}{7}} y^{\frac{5}{7}})$

Etapa 1.7

Multiplique os expoentes em ${(x^{6})}^{\frac{5}{7}}$ .

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Etapa 1.7.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{b} (x^{\frac{2}{5}} y^{\frac{6}{5}}) - \log_{b} (x^{6 (\frac{5}{7})} y^{\frac{5}{7}})$

Etapa 1.7.2

Multiplique $6 (\frac{5}{7})$ .

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Etapa 1.7.2.1

Combine $6$ e $\frac{5}{7}$ .

$\log_{b} (x^{\frac{2}{5}} y^{\frac{6}{5}}) - \log_{b} (x^{\frac{6 \cdot 5}{7}} y^{\frac{5}{7}})$

Etapa 1.7.2.2

Multiplique $6$ por $5$ .

$\log_{b} (x^{\frac{2}{5}} y^{\frac{6}{5}}) - \log_{b} (x^{\frac{30}{7}} y^{\frac{5}{7}})$

Etapa 2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{b} (\frac{x^{\frac{2}{5}} y^{\frac{6}{5}}}{x^{\frac{30}{7}} y^{\frac{5}{7}}})$

Etapa 3

Mova $x^{\frac{2}{5}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}}}{x^{\frac{30}{7}} y^{\frac{5}{7}} x^{- \frac{2}{5}}})$

Etapa 4

Multiplique $x^{\frac{30}{7}}$ por $x^{- \frac{2}{5}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $x^{- \frac{2}{5}}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}}}{x^{- \frac{2}{5}} x^{\frac{30}{7}} y^{\frac{5}{7}}})$

Etapa 4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}}}{x^{- \frac{2}{5} + \frac{30}{7}} y^{\frac{5}{7}}})$

Etapa 4.3

Para escrever $- \frac{2}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}}}{x^{- \frac{2}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{30}{7}} y^{\frac{5}{7}}})$

Etapa 4.4

Para escrever $\frac{30}{7}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}}}{x^{- \frac{2}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{30}{7} \cdot \frac{5}{5}} y^{\frac{5}{7}}})$

Etapa 4.5

Escreva cada expressão com um denominador comum de $35$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.5.1

Multiplique $\frac{2}{5}$ por $\frac{7}{7}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}}}{x^{- \frac{2 \cdot 7}{5 \cdot 7} + \frac{30}{7} \cdot \frac{5}{5}} y^{\frac{5}{7}}})$

Etapa 4.5.2

Multiplique $5$ por $7$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}}}{x^{- \frac{2 \cdot 7}{35} + \frac{30}{7} \cdot \frac{5}{5}} y^{\frac{5}{7}}})$

Etapa 4.5.3

Multiplique $\frac{30}{7}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}}}{x^{- \frac{2 \cdot 7}{35} + \frac{30 \cdot 5}{7 \cdot 5}} y^{\frac{5}{7}}})$

Etapa 4.5.4

Multiplique $7$ por $5$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}}}{x^{- \frac{2 \cdot 7}{35} + \frac{30 \cdot 5}{35}} y^{\frac{5}{7}}})$

Etapa 4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}}}{x^{\frac{- 2 \cdot 7 + 30 \cdot 5}{35}} y^{\frac{5}{7}}})$

Etapa 4.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.7.1

Multiplique $- 2$ por $7$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}}}{x^{\frac{- 14 + 30 \cdot 5}{35}} y^{\frac{5}{7}}})$

Etapa 4.7.2

Multiplique $30$ por $5$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}}}{x^{\frac{- 14 + 150}{35}} y^{\frac{5}{7}}})$

Etapa 4.7.3

Some $- 14$ e $150$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}}}{x^{\frac{136}{35}} y^{\frac{5}{7}}})$

Etapa 5

Mova $y^{\frac{5}{7}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}} y^{- \frac{5}{7}}}{x^{\frac{136}{35}}})$

Etapa 6

Multiplique $y^{\frac{6}{5}}$ por $y^{- \frac{5}{7}}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5} - \frac{5}{7}}}{x^{\frac{136}{35}}})$

Etapa 6.2

Para escrever $\frac{6}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5} \cdot \frac{7}{7} - \frac{5}{7}}}{x^{\frac{136}{35}}})$

Etapa 6.3

Para escrever $- \frac{5}{7}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5} \cdot \frac{7}{7} - \frac{5}{7} \cdot \frac{5}{5}}}{x^{\frac{136}{35}}})$

Etapa 6.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $35$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 6.4.1

Multiplique $\frac{6}{5}$ por $\frac{7}{7}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6 \cdot 7}{5 \cdot 7} - \frac{5}{7} \cdot \frac{5}{5}}}{x^{\frac{136}{35}}})$

Etapa 6.4.2

Multiplique $5$ por $7$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6 \cdot 7}{35} - \frac{5}{7} \cdot \frac{5}{5}}}{x^{\frac{136}{35}}})$

Etapa 6.4.3

Multiplique $\frac{5}{7}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6 \cdot 7}{35} - \frac{5 \cdot 5}{7 \cdot 5}}}{x^{\frac{136}{35}}})$

Etapa 6.4.4

Multiplique $7$ por $5$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6 \cdot 7}{35} - \frac{5 \cdot 5}{35}}}{x^{\frac{136}{35}}})$

Etapa 6.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6 \cdot 7 - 5 \cdot 5}{35}}}{x^{\frac{136}{35}}})$

Etapa 6.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.6.1

Multiplique $6$ por $7$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{42 - 5 \cdot 5}{35}}}{x^{\frac{136}{35}}})$

Etapa 6.6.2

Multiplique $- 5$ por $5$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{42 - 25}{35}}}{x^{\frac{136}{35}}})$

Etapa 6.6.3

Subtraia $25$ de $42$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{17}{35}}}{x^{\frac{136}{35}}})$