Pré-cálculo Exemplos

${(\frac{2}{3})}^{x + 1} = {(\frac{81}{16})}^{x - 1}$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo dos dois lados da equação.

$\ln ({(\frac{2}{3})}^{x + 1}) = \ln ({(\frac{81}{16})}^{x - 1})$

Etapa 2

Expanda $\ln ({(\frac{2}{3})}^{x + 1})$ movendo $x + 1$ para fora do logaritmo.

$(x + 1) \ln (\frac{2}{3}) = \ln ({(\frac{81}{16})}^{x - 1})$

Etapa 3

Reescreva $\ln (\frac{2}{3})$ como $\ln (2) - \ln (3)$ .

$(x + 1) (\ln (2) - \ln (3)) = \ln ({(\frac{81}{16})}^{x - 1})$

Etapa 4

Expanda $\ln ({(\frac{81}{16})}^{x - 1})$ movendo $x - 1$ para fora do logaritmo.

$(x + 1) (\ln (2) - \ln (3)) = (x - 1) \ln (\frac{81}{16})$

Etapa 5

Reescreva $\ln (\frac{81}{16})$ como $\ln (81) - \ln (16)$ .

$(x + 1) (\ln (2) - \ln (3)) = (x - 1) (\ln (81) - \ln (16))$

Etapa 6

Reescreva $\ln (16)$ como $\ln (2^{4})$ .

$(x + 1) (\ln (2) - \ln (3)) = (x - 1) (\ln (81) - \ln (2^{4}))$

Etapa 7

Expanda $\ln (2^{4})$ movendo $4$ para fora do logaritmo.

$(x + 1) (\ln (2) - \ln (3)) = (x - 1) (\ln (81) - (4 \ln (2)))$

Etapa 8

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$(x + 1) (\ln (2) - \ln (3)) = (x - 1) (\ln (81) - 4 \ln (2))$

Etapa 9

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique $(x + 1) (\ln (2) - \ln (3))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Reescreva.

$0 + 0 + (x + 1) (\ln (2) - \ln (3)) = (x - 1) (\ln (81) - 4 \ln (2))$

Etapa 9.1.2

Simplifique somando os zeros.

$(x + 1) (\ln (2) - \ln (3)) = (x - 1) (\ln (81) - 4 \ln (2))$

Etapa 9.1.3

Expanda $(x + 1) (\ln (2) - \ln (3))$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (\ln (2) - \ln (3)) + 1 (\ln (2) - \ln (3)) = (x - 1) (\ln (81) - 4 \ln (2))$

Etapa 9.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x \ln (2) + x (- \ln (3)) + 1 (\ln (2) - \ln (3)) = (x - 1) (\ln (81) - 4 \ln (2))$

Etapa 9.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x \ln (2) + x (- \ln (3)) + 1 \ln (2) + 1 (- \ln (3)) = (x - 1) (\ln (81) - 4 \ln (2))$

Etapa 9.1.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x \ln (2) - x \ln (3) + 1 \ln (2) + 1 (- \ln (3)) = (x - 1) (\ln (81) - 4 \ln (2))$

Etapa 9.1.4.2

Multiplique $\ln (2)$ por $1$ .

$x \ln (2) - x \ln (3) + \ln (2) + 1 (- \ln (3)) = (x - 1) (\ln (81) - 4 \ln (2))$

Etapa 9.1.4.3

Multiplique $- \ln (3)$ por $1$ .

$x \ln (2) - x \ln (3) + \ln (2) - \ln (3) = (x - 1) (\ln (81) - 4 \ln (2))$

Etapa 9.2

Simplifique $(x - 1) (\ln (81) - 4 \ln (2))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Expanda $(x - 1) (\ln (81) - 4 \ln (2))$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x \ln (2) - x \ln (3) + \ln (2) - \ln (3) = x (\ln (81) - 4 \ln (2)) - 1 (\ln (81) - 4 \ln (2))$

Etapa 9.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x \ln (2) - x \ln (3) + \ln (2) - \ln (3) = x \ln (81) + x (- 4 \ln (2)) - 1 (\ln (81) - 4 \ln (2))$

Etapa 9.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x \ln (2) - x \ln (3) + \ln (2) - \ln (3) = x \ln (81) + x (- 4 \ln (2)) - 1 \ln (81) - 1 (- 4 \ln (2))$

Etapa 9.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x \ln (2) - x \ln (3) + \ln (2) - \ln (3) = x \ln (81) - 4 x \ln (2) - 1 \ln (81) - 1 (- 4 \ln (2))$

Etapa 9.2.2.2

Reescreva $- 1 \ln (81)$ como $- \ln (81)$ .

$x \ln (2) - x \ln (3) + \ln (2) - \ln (3) = x \ln (81) - 4 x \ln (2) - \ln (81) - 1 (- 4 \ln (2))$

Etapa 9.2.2.3

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x \ln (2) - x \ln (3) + \ln (2) - \ln (3) = x \ln (81) - 4 x \ln (2) - \ln (81) + 4 \ln (2)$

Etapa 9.3

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Subtraia $x \ln (81)$ dos dois lados da equação.

$x \ln (2) - x \ln (3) + \ln (2) - \ln (3) - x \ln (81) = - 4 x \ln (2) - \ln (81) + 4 \ln (2)$

Etapa 9.3.2

Some $4 x \ln (2)$ aos dois lados da equação.

$x \ln (2) - x \ln (3) + \ln (2) - \ln (3) - x \ln (81) + 4 x \ln (2) = - \ln (81) + 4 \ln (2)$

Etapa 9.3.3

Some $x \ln (2)$ e $4 x \ln (2)$ .

$- x \ln (3) + \ln (2) - \ln (3) - x \ln (81) + 5 x \ln (2) = - \ln (81) + 4 \ln (2)$

Etapa 9.4

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1

Subtraia $\ln (2)$ dos dois lados da equação.

$- x \ln (3) - \ln (3) - x \ln (81) + 5 x \ln (2) = - \ln (81) + 4 \ln (2) - \ln (2)$

Etapa 9.4.2

Some $\ln (3)$ aos dois lados da equação.

$- x \ln (3) - x \ln (81) + 5 x \ln (2) = - \ln (81) + 4 \ln (2) - \ln (2) + \ln (3)$

Etapa 9.4.3

Subtraia $\ln (2)$ de $4 \ln (2)$ .

$- x \ln (3) - x \ln (81) + 5 x \ln (2) = - \ln (81) + 3 \ln (2) + \ln (3)$

Etapa 9.5

Fatore $x$ de $- x \ln (3) - x \ln (81) + 5 x \ln (2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.1

Fatore $x$ de $- x \ln (3)$ .

$x (- 1 \ln (3)) - x \ln (81) + 5 x \ln (2) = - \ln (81) + 3 \ln (2) + \ln (3)$

Etapa 9.5.2

Fatore $x$ de $- x \ln (81)$ .

$x (- 1 \ln (3)) + x (- 1 \ln (81)) + 5 x \ln (2) = - \ln (81) + 3 \ln (2) + \ln (3)$

Etapa 9.5.3

Fatore $x$ de $5 x \ln (2)$ .

$x (- 1 \ln (3)) + x (- 1 \ln (81)) + x (5 \ln (2)) = - \ln (81) + 3 \ln (2) + \ln (3)$

Etapa 9.5.4

Fatore $x$ de $x (- 1 \ln (3)) + x (- 1 \ln (81))$ .

$x (- 1 \ln (3) - 1 \ln (81)) + x (5 \ln (2)) = - \ln (81) + 3 \ln (2) + \ln (3)$

Etapa 9.5.5

Fatore $x$ de $x (- 1 \ln (3) - 1 \ln (81)) + x (5 \ln (2))$ .

$x (- 1 \ln (3) - 1 \ln (81) + 5 \ln (2)) = - \ln (81) + 3 \ln (2) + \ln (3)$

Etapa 9.6

Reescreva $- 1 \ln (3)$ como $- \ln (3)$ .

$x (- \ln (3) - 1 \ln (81) + 5 \ln (2)) = - \ln (81) + 3 \ln (2) + \ln (3)$

Etapa 9.7

Reescreva $- 1 \ln (81)$ como $- \ln (81)$ .

$x (- \ln (3) - \ln (81) + 5 \ln (2)) = - \ln (81) + 3 \ln (2) + \ln (3)$

Etapa 9.8

Divida cada termo em $x (- \ln (3) - \ln (81) + 5 \ln (2)) = - \ln (81) + 3 \ln (2) + \ln (3)$ por $- \ln (3) - \ln (81) + 5 \ln (2)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.8.1

Divida cada termo em $x (- \ln (3) - \ln (81) + 5 \ln (2)) = - \ln (81) + 3 \ln (2) + \ln (3)$ por $- \ln (3) - \ln (81) + 5 \ln (2)$ .

$\frac{x (- \ln (3) - \ln (81) + 5 \ln (2))}{- \ln (3) - \ln (81) + 5 \ln (2)} = \frac{- \ln (81)}{- \ln (3) - \ln (81) + 5 \ln (2)} + \frac{3 \ln (2)}{- \ln (3) - \ln (81) + 5 \ln (2)} + \frac{\ln (3)}{- \ln (3) - \ln (81) + 5 \ln (2)}$

Etapa 9.8.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.8.2.1

Cancele o fator comum de $- \ln (3) - \ln (81) + 5 \ln (2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.8.2.1.1

Cancele o fator comum.

Etapa 9.8.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (81)}{- \ln (3) - \ln (81) + 5 \ln (2)} + \frac{3 \ln (2)}{- \ln (3) - \ln (81) + 5 \ln (2)} + \frac{\ln (3)}{- \ln (3) - \ln (81) + 5 \ln (2)}$

Etapa 9.8.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.8.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{\ln (81)}{- \ln (3) - \ln (81) + 5 \ln (2)} + \frac{3 \ln (2)}{- \ln (3) - \ln (81) + 5 \ln (2)} + \frac{\ln (3)}{- \ln (3) - \ln (81) + 5 \ln (2)}$

Etapa 9.8.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{- \ln (81) + 3 \ln (2)}{- \ln (3) - \ln (81) + 5 \ln (2)} + \frac{\ln (3)}{- \ln (3) - \ln (81) + 5 \ln (2)}$

Etapa 9.8.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{- \ln (81) + 3 \ln (2) + \ln (3)}{- \ln (3) - \ln (81) + 5 \ln (2)}$

Etapa 9.8.3.4

Fatore $- 1$ de $- \ln (81)$ .

$x = \frac{- \ln (81) + 3 \ln (2) + \ln (3)}{- \ln (3) - \ln (81) + 5 \ln (2)}$

Etapa 9.8.3.5

Fatore $- 1$ de $3 \ln (2)$ .

$x = \frac{- \ln (81) - (- 3 \ln (2)) + \ln (3)}{- \ln (3) - \ln (81) + 5 \ln (2)}$

Etapa 9.8.3.6

Fatore $- 1$ de $- \ln (81) - (- 3 \ln (2))$ .

$x = \frac{- (\ln (81) - 3 \ln (2)) + \ln (3)}{- \ln (3) - \ln (81) + 5 \ln (2)}$

Etapa 9.8.3.7

Fatore $- 1$ de $\ln (3)$ .

$x = \frac{- (\ln (81) - 3 \ln (2)) - 1 (- \ln (3))}{- \ln (3) - \ln (81) + 5 \ln (2)}$

Etapa 9.8.3.8

Fatore $- 1$ de $- (\ln (81) - 3 \ln (2)) - 1 (- \ln (3))$ .

$x = \frac{- (\ln (81) - 3 \ln (2) - \ln (3))}{- \ln (3) - \ln (81) + 5 \ln (2)}$

Etapa 9.8.3.9

Reescreva $- (\ln (81) - 3 \ln (2) - \ln (3))$ como $- 1 (\ln (81) - 3 \ln (2) - \ln (3))$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (81) - 3 \ln (2) - \ln (3))}{- \ln (3) - \ln (81) + 5 \ln (2)}$

Etapa 9.8.3.10

Fatore $- 1$ de $- \ln (3)$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (81) - 3 \ln (2) - \ln (3))}{- \ln (3) - \ln (81) + 5 \ln (2)}$

Etapa 9.8.3.11

Fatore $- 1$ de $- \ln (81)$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (81) - 3 \ln (2) - \ln (3))}{- \ln (3) - \ln (81) + 5 \ln (2)}$

Etapa 9.8.3.12

Fatore $- 1$ de $- \ln (3) - \ln (81)$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (81) - 3 \ln (2) - \ln (3))}{- (\ln (3) + \ln (81)) + 5 \ln (2)}$

Etapa 9.8.3.13

Fatore $- 1$ de $5 \ln (2)$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (81) - 3 \ln (2) - \ln (3))}{- (\ln (3) + \ln (81)) - (- 5 \ln (2))}$

Etapa 9.8.3.14

Fatore $- 1$ de $- (\ln (3) + \ln (81)) - (- 5 \ln (2))$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (81) - 3 \ln (2) - \ln (3))}{- (\ln (3) + \ln (81) - 5 \ln (2))}$

Etapa 9.8.3.15

Reescreva $- (\ln (3) + \ln (81) - 5 \ln (2))$ como $- 1 (\ln (3) + \ln (81) - 5 \ln (2))$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (81) - 3 \ln (2) - \ln (3))}{- 1 (\ln (3) + \ln (81) - 5 \ln (2))}$

Etapa 9.8.3.16

Cancele o fator comum.

$x = \frac{- 1 (\ln (81) - 3 \ln (2) - \ln (3))}{- 1 (\ln (3) + \ln (81) - 5 \ln (2))}$

Etapa 9.8.3.17

Reescreva a expressão.

$x = \frac{\ln (81) - 3 \ln (2) - \ln (3)}{\ln (3) + \ln (81) - 5 \ln (2)}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{\ln (81) - 3 \ln (2) - \ln (3)}{\ln (3) + \ln (81) - 5 \ln (2)}$

Forma decimal:

$x = 0.6$