Pré-cálculo Exemplos

$- 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot i$

Etapa 1

Combine $i$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- 1 - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 2

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 3

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 4

Substitua os valores reais de $a = - 1$ e $b = - \frac{1 \sqrt{3}}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{1 \sqrt{3}}{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Etapa 5

Encontre $| z |$ .

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Etapa 5.1

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Etapa 5.2

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 5.2.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Etapa 5.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + {(- 1)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + {(- 1)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Multiplique $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Etapa 5.4

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 5.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Etapa 5.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Etapa 5.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Etapa 5.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.4.4.1

Cancele o fator comum.

$| z | = \sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Etapa 5.4.4.2

Reescreva a expressão.

$| z | = \sqrt{\frac{3}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Etapa 5.4.5

Avalie o expoente.

$| z | = \sqrt{\frac{3}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Etapa 5.5

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3}{9} + {(- 1)}^{2}}$

Etapa 5.6

Cancele o fator comum de $3$ e $9$ .

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Etapa 5.6.1

Fatore $3$ de $3$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3 (1)}{9} + {(- 1)}^{2}}$

Etapa 5.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.6.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + {(- 1)}^{2}}$

Etapa 5.6.2.2

Cancele o fator comum.

$| z | = \sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + {(- 1)}^{2}}$

Etapa 5.6.2.3

Reescreva a expressão.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{3} + {(- 1)}^{2}}$

Etapa 5.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.7.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{3} + 1}$

Etapa 5.7.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}}$

Etapa 5.7.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 3}{3}}$

Etapa 5.7.4

Some $1$ e $3$ .

$| z | = \sqrt{\frac{4}{3}}$

Etapa 5.8

Reescreva $\sqrt{\frac{4}{3}}$ como $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Etapa 5.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.9.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 5.9.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| z | = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Etapa 5.10

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| z | = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 5.11

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 5.11.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 5.11.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 5.11.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 5.11.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 5.11.5

Some $1$ e $1$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 5.11.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 5.11.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.11.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.11.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.11.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.11.6.4.1

Cancele o fator comum.

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.11.6.4.2

Reescreva a expressão.

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 5.11.6.5

Avalie o expoente.

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 6

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{- \frac{1 \sqrt{3}}{3}}{- 1})$

Etapa 7

Como a tangente inversa de $\frac{- \frac{1 \sqrt{3}}{3}}{- 1}$ produz um ângulo no terceiro quadrante, o valor do ângulo é $\frac{7 π}{6}$ .

$θ = \frac{7 π}{6}$

Etapa 8

Substitua os valores de $θ = \frac{7 π}{6}$ e $| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3 (\cos (\frac{7 π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6}))}$