Pré-cálculo Exemplos

$\frac{2}{3} + 6 i + \frac{5}{2} \cdot i$

Etapa 1

Combine $\frac{5}{2}$ e $i$ .

$\frac{2}{3} + 6 i + \frac{5 i}{2}$

Etapa 2

Para escrever $6 i$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} + 6 i \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 i}{2}$

Etapa 3

Combine $6 i$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{6 i \cdot 2}{2} + \frac{5 i}{2}$

Etapa 4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{3} + \frac{17 i}{2}$

Etapa 5

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 6

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 7

Substitua os valores reais de $a = \frac{2}{3}$ e $b = \frac{17}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{17}{2})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Etapa 8

Encontre $| z |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Aplique a regra do produto a $\frac{17}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{17^{2}}{2^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Etapa 8.2

Eleve $17$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{2^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Etapa 8.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Etapa 8.4

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + \frac{2^{2}}{3^{2}}}$

Etapa 8.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + \frac{4}{3^{2}}}$

Etapa 8.6

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + \frac{4}{9}}$

Etapa 8.7

Para escrever $\frac{289}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9}}$

Etapa 8.8

Para escrever $\frac{4}{9}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Etapa 8.9

Escreva cada expressão com um denominador comum de $36$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.9.1

Multiplique $\frac{289}{4}$ por $\frac{9}{9}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{4 \cdot 9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Etapa 8.9.2

Multiplique $4$ por $9$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{36} + \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Etapa 8.9.3

Multiplique $\frac{4}{9}$ por $\frac{4}{4}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{36} + \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4}}$

Etapa 8.9.4

Multiplique $9$ por $4$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{36} + \frac{4 \cdot 4}{36}}$

Etapa 8.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9 + 4 \cdot 4}{36}}$

Etapa 8.11

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.11.1

Multiplique $289$ por $9$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2601 + 4 \cdot 4}{36}}$

Etapa 8.11.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2601 + 16}{36}}$

Etapa 8.11.3

Some $2601$ e $16$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2617}{36}}$

Etapa 8.12

Reescreva $\sqrt{\frac{2617}{36}}$ como $\frac{\sqrt{2617}}{\sqrt{36}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2617}}{\sqrt{36}}$

Etapa 8.13

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.13.1

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2617}}{\sqrt{6^{2}}}$

Etapa 8.13.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| z | = \frac{\sqrt{2617}}{6}$

Etapa 9

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{\frac{17}{2}}{\frac{2}{3}})$

Etapa 10

Como a tangente inversa de $\frac{\frac{17}{2}}{\frac{2}{3}}$ produz um ângulo no primeiro quadrante, o valor do ângulo é $1.49252518$ .

$θ = 1.49252518$

Etapa 11

Substitua os valores de $θ = 1.49252518$ e $| z | = \frac{\sqrt{2617}}{6}$ .

$\frac{\sqrt{2617}}{6 (\cos (1.49252518) + i \sin (1.49252518))}$