Pré-cálculo Exemplos

${(1 - i)}^{3}$

Etapa 1

Use o teorema binomial.

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} (- i) + 3 \cdot 1 {(- i)}^{2} + {(- i)}^{3}$

Etapa 2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 3 \cdot 1^{2} (- i) + 3 \cdot 1 {(- i)}^{2} + {(- i)}^{3}$

Etapa 2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 3 \cdot 1 (- i) + 3 \cdot 1 {(- i)}^{2} + {(- i)}^{3}$

Etapa 2.1.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$1 + 3 (- i) + 3 \cdot 1 {(- i)}^{2} + {(- i)}^{3}$

Etapa 2.1.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$1 - 3 i + 3 \cdot 1 {(- i)}^{2} + {(- i)}^{3}$

Etapa 2.1.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$1 - 3 i + 3 {(- i)}^{2} + {(- i)}^{3}$

Etapa 2.1.6

Aplique a regra do produto a $- i$ .

$1 - 3 i + 3 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + {(- i)}^{3}$

Etapa 2.1.7

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 - 3 i + 3 (1 i^{2}) + {(- i)}^{3}$

Etapa 2.1.8

Multiplique $i^{2}$ por $1$ .

$1 - 3 i + 3 i^{2} + {(- i)}^{3}$

Etapa 2.1.9

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 - 3 i + 3 \cdot - 1 + {(- i)}^{3}$

Etapa 2.1.10

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$1 - 3 i - 3 + {(- i)}^{3}$

Etapa 2.1.11

Aplique a regra do produto a $- i$ .

$1 - 3 i - 3 + {(- 1)}^{3} i^{3}$

Etapa 2.1.12

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$1 - 3 i - 3 - i^{3}$

Etapa 2.1.13

Fatore $i^{2}$ .

$1 - 3 i - 3 - (i^{2} \cdot i)$

Etapa 2.1.14

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 - 3 i - 3 - (- 1 \cdot i)$

Etapa 2.1.15

Reescreva $- 1 i$ como $- i$ .

$1 - 3 i - 3 - - i$

Etapa 2.1.16

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 - 3 i - 3 + 1 i$

Etapa 2.1.17

Multiplique $i$ por $1$ .

$1 - 3 i - 3 + i$

Etapa 2.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Subtraia $3$ de $1$ .

$- 2 - 3 i + i$

Etapa 2.2.2

Some $- 3 i$ e $i$ .

$- 2 - 2 i$

Etapa 3

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 4

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 5

Substitua os valores reais de $a = - 2$ e $b = - 2$ .

$| z | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Etapa 6

Encontre $| z |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{4 + {(- 2)}^{2}}$

Etapa 6.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{4 + 4}$

Etapa 6.3

Some $4$ e $4$ .

$| z | = \sqrt{8}$

Etapa 6.4

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Fatore $4$ de $8$ .

$| z | = \sqrt{4 (2)}$

Etapa 6.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Etapa 6.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$| z | = 2 \sqrt{2}$

Etapa 7

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{- 2}{- 2})$

Etapa 8

Como a tangente inversa de $\frac{- 2}{- 2}$ produz um ângulo no terceiro quadrante, o valor do ângulo é $\frac{5 π}{4}$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Etapa 9

Substitua os valores de $θ = \frac{5 π}{4}$ e $| z | = 2 \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} (\cos (\frac{5 π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{4}))$